Wie viele Kugeln muss er mindestens ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln, …

Question

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 8 rote und 2 schwarze Kugeln. Tomas nimmt n Bälle auf einmal. Wie viele Kugeln muss er mindestens ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln, mindestens eine schwarze dabei ist, mindestens 2/3 beträgt?

Problem/Ansatz:

Wir haben hier ja leider kein Bernoulli-Experiment vorliegen. Sonst könnte man das ganz einfach mit der Binomialverteilung lösen:

$$\Large\cancel{\text{P}^{^{n}}_{0.8}\left(\text{Z}\geq\frac{2}{3}\right)}$$

Wie geht man beim Ziehen ohne Zurücklegen vor?

Answer 1

Hypergeometrische Verteilung

P(Mind. eine schwarze) = 1 - (2 über 0)·(8 über n) / (10 über n) ≥ 2/3 → n ≥ 4

Comments

Schlau. Dann kann man also doch die FORMEL für die Hypergeometrische Verteilung anwenden:

$$\frac{\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8\\ \text{n}\\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 10\\ \text{n}\\\end{pmatrix}}\geq\frac{2}{3}$$

Wie löst man das jetzt nach n auf? Also welcher Rechenoperator? Ich verstehe das nicht.

---

Zunächst hatte ich 2 über 0 geschrieben. das ist allerdings das gleiche wie 2 über 2.

Schaffst du es die Binomialkoeffizienten als Fakultäten zu schreiben und schön zu kürzen?

---

Schaffst du es die Binomialkoeffizienten als Fakultäten zu schreiben und schön zu kürzen?

Natürlich schaffe ich das!!

$$\frac{8!}{10!}=\frac{1}{10\cdot9}\\\frac{\bcancel{\,8!\,}}{n!\cdot(8-n)!}:\frac{\bcancel{10}!}{n!\cdot(10-n)!}\\\frac{{1}}{n!\cdot(8-n)!}:\frac{90}{n!\cdot(10-n)!}\\\frac{{1}}{n!\cdot(8-n)!}\cdot\frac{n!\cdot(10-n)!}{90}\\\frac{{n!\cdot(10-n)!}}{90n!\cdot(8-n)!}\\\frac{(10-n)\cdot(9-n)}{90}\geq\frac{2}{3}$$

Nicht! Warum sollen da denn zwei Werte bei rauskommen?

---

Du hast was vergessen

P(Mind. eine schwarze) = 1 - (2 über 0)·(8 über n) / (10 über n) ≥ 2/3

Und dann nach n auflösen.

Eine Lösung kannst du ignorieren. Beachte den Definitionsereich für n. Der Binomialkoeffizient weiß warum. Die Quadratfunktion weiß es nicht.

Answer 2

Hallo

Diese Antwort war leider sehr falsch!

Wk beim 1. Zug s zu haben ist 2/10, beim 2. 2/9 dann 2/8 usw. addiere diese Wk.

lul

Comments

Meinst du das so ?

2/10 + 2/9 + 2/8 = 121/180 = 0.6722222222

Und was bringt das jetzt genau?

---

Wk beim 1. Zug s zu haben ist 2/10, beim 2. 2/9 dann 2/8 usw. addiere diese Wk.

Ich weigere mich die Pfadregeln zu benutzen, wenn es ganz entspannt mit der Hypergeometrischen Verteilung geht.