Vereinigungs- und Schnittmengen beweisen

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4 Für jedes \( k \in \mathbb{N} \) sei \( A_{k}=\{r \in \mathbb{R}: 0 \leq r<k\}, B_{k}=\{r \in \mathbb{R}: k \leq r\} \) und \( C_{k}=\{r \in \mathbb{R}: k \leq r<k+1\} \). Zeige:

(1) \( \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k}=\bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k+1} \)
(2) \( \bigcap_{k \in \mathbb{N}} B_{2 k}=\bigcap_{k \in \mathbb{N}} B_{2 k+1} \)
(3) \( \left(\bigcup_{k \in \mathbb{N}} C_{2 k}\right) \cap\left(\bigcup_{k \in \mathbb{N}} C_{2 k+1}\right)=\emptyset \)

Problem/Ansatz:

Helfen bitte!!!, mindestens eine von diesen Beispielen zu rechnen, zu verstehen, was und wie es funktioniert :'//

Answer 1

\( \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k}=\bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k+1} \)

Die A_k sind ja alles halboffene Intervalle [0 ; k [ .

Wenn du nun \( \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k}\) betrachtest, dann ist

das die Vereinigung aller halboffenen Intervalle der Art [0;2k[ .

Die liegen alle ineinander und für beliebig großes k reichen die beliebig weit

" nach rechts " . Die Vereinigung ist also [0 ; ∞[ .

Das was rechts in der Gleichung steht auch.

Wenn du das ganz ordentlich beweisen willst, könnte man vielleicht so vorgehen:

Sei \(x ε  \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k}\)

==>  ∃k∈ℕ x∈ A_2k  ==>   0≤x<2k

                            ==>    0≤x<2k+1

                         ==>   x∈ A_2k+1

                         ==>   \(x ε  \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k+1}\)

umgekehrt:

Sei \(x ε  \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k}+1\)
==>  ∃k∈ℕ x∈ A_2k+1 ==>  0≤x<2k+1
                            ==>    0≤x<2k+2=2(k+1)

                          ==>    x∈ A_2(k+1)

Mit k ist aber auch k+1 in ℕ, also folgt

Es gibt ein h∈ℕ (nämlich h=k+1) mit  x∈ A_2h  
                     ==>  \(x ε  \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{2 k}\)

                                                         q.e.d.

Comments

Vielen vielen Dank!!! Sie haben mir wirklich die Augen geöffnet!