Ermittle den Grenzwert der Folge

Question

Aufgabe:

Gesucht ist der Grenzwert dieser Folge:

\(\displaystyle a_{n}= \frac{1+2^2+...n^2}{n^3} \)

Problem/Ansatz:

Gibt es eine Möglichkeit den Bruch zu vereinfachen oder einen Trick wie ich das zeigen kann, was der Grenzwert dieser Folge ist? Danke

Comments

Warum sollte es sich bei dieser Folge um eine Nullfolge handeln?

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Hab ich mal abgenommen. Wegen der Angabe, zeige, dass es sich um eine Nullfolge handelt.

Wie zeige ich in diesem Fall, dass die Folge nicht gegen 0 konvergiert?

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Für den Zähler \(1^2+2^2+\ldots+n^2\) gibt es eine Summenformel.

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Danke für den Hinweis!

Answer 1

Aloha :)

Das kann man nicht zeigen, weil es falsch ist.

$$a_n=\frac{\pink{1^2+2^2+\ldots+n^2}}{n^3}=\frac{\pink{\frac16n(n+1)(2n+1)}}{n^3}=\frac16\,\frac{n+1}{n}\,\frac{2n+1}{n}$$$$\phantom{a_n}=\frac16\left(1+\frac1n\right)\left(2+\frac1n\right)\stackrel{n\to\infty}{=}\frac16\cdot1\cdot2=\frac13\ne0$$Die Folge konvergiert gegen \(\frac13\).

Comments

Danke dir!

Ist das im ersten Schritt die von Arsinoe4 obenerwähnte Summenformel?

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Ja genau:$$1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac16n(n+1)(2n+1)$$Die wusste ich zufällig auswendig, kann man aber durch vollständige Induktion beweisen.

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Okay! Mahalo für die flotte Hilfe