Hallo,
wie gehe ich da am besten vor?
auf jeden Fall zunächst eine Skizze von der Funktion machen. Da gibt es heutzutage genug Hilfen - z.B. Desmos oder auch einen graphischen TR.
1) berechne die schnittpunkte mit den achsen ...
Am einfachsten ist der Schnittpunkt mit der Y-Achse. Hier ist \(x=0\). Also ist der Schnittpunkt \(Y\) $$f(x) = x^{2} + 4x + 3 \\Y=(0;\,f(0)) = (0;\,3)$$Die Schnittpunkte mit der X-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Dort ist \(f(x)=0\)$$x^{2}+4x+3 = 0 \implies x_{1} = -1, \quad x_2 = -3 \\ \implies X_1=(-1;\,0) \quad X_2=(-3;\, 0)$$falls Du nicht weißt, wie man das berechnen, so melde Dich bitte.
... und die steigung der tangenten in diesen punkten!
Da eignet sich die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden. Notwendig ist dazu die Berechnung der Steigung an diesem Punkt über die Ableitung \(f'(x)\) der Funktion$$f'(x)= 2x+4$$Die Tangente in \(X_1\) ist z.B.:$$t_1: \quad t_1(x)= f'(-1)(x-(-1)) + f(-1) = 2(x+1)+0 = 2x+2$$
2) in welchen punkten des graphen ist die tangente zur x-Achse parallel, in welchen punkten parallel zur geraden 2x - y + 3 = 0
dort, wo die Parabel die selbe Steigung hat. Umgestellt heißt die Gerade $$g:\quad y = 2x+3$$d.h. ihre Steigung ist \(y'=2\). Setze das in die Ableitung \(f'\) der Parabel ein:$$f'(x)= 2x+ 4 = 2 \implies x = -1$$D.h. die Steigung der Tangente in \(X_1\) verläuft parallel zu \(g\) (blau).
3) in welchem punkt der graphen bildet die tangente mit der positiven ersten achse (x-achse) einen winkel von 45°?
45° entspricht einer Steigung von 1. Die Steigung ist \(f'(x)=1\) im Punkt \(Q\): $$f'(x)= 2x + 4 = 1 \implies x = -\frac32\\ Q=\left(-\frac32;\,f\left(\frac32\right) \right) = \left(-\frac32;\,-\frac34 \right)$$Bitte frage nach, falls noch etwas unklar ist
Gruß Werner
