berechne die schnittpunkte mit den achsen und die steigung der tangenten in diesen punkten!

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion mit f(x) = x² + 4x + 3

1) berechne die schnittpunkte mit den achsen und die steigung der tangenten in diesen punkten!

2) in welchen punkten des graphen ist die tangente zur x-Achse parallel, in welchen punkten parallel zur geraden 2x - y + 3 = 0

3) in welchem punkt der graphen bildet die tangente mit der positiven ersten achse (x-achse) einen winkel von 45°?

Problem/Ansatz:

wie gehe ich da am besten vor?

Comments

So sieht das aus:

Answer 1

wie gehe ich da am besten vor?

1) Setze die Funktion gleich null und löse nach x auf, dann hast Du die Schnittpunkte mit der x-Achse. Setze x = 0 in die Funktion ein, dann hast Du den Schnittpunkt mit der y-Achse.

2) Die Tangente ist zur x-Achse parallel dort, wo die erste Ableitung der Funktion gleich null ist, weil die x-Achse eine Steigung von null hat. Die Tangente ist zur Geraden parallel dort, wo die erste Ableitung der Fuktion gleich zwei ist, weil die Gerade eine Steigung von zwei hat.

3) Dort, wo die erste Ableitung der Funktion gleich -1 oder 1 ist.

Answer 2

Hallo,

wie gehe ich da am besten vor?

auf jeden Fall zunächst eine Skizze von der Funktion machen. Da gibt es heutzutage genug Hilfen - z.B. Desmos oder auch einen graphischen TR.

https://www.desmos.com/calculator/ka0db48ubg

1) berechne die schnittpunkte mit den achsen ...

Am einfachsten ist der Schnittpunkt mit der Y-Achse. Hier ist \(x=0\). Also ist der Schnittpunkt \(Y\) $$f(x) = x^{2} + 4x + 3 \\Y=(0;\,f(0)) = (0;\,3)$$Die Schnittpunkte mit der X-Achse sind die Nullstellen der Funktion. Dort ist \(f(x)=0\)$$x^{2}+4x+3 = 0 \implies x_{1} = -1, \quad x_2 = -3 \\ \implies X_1=(-1;\,0) \quad X_2=(-3;\, 0)$$falls Du nicht weißt, wie man das berechnen, so melde Dich bitte.

... und die steigung der tangenten in diesen punkten!

Da eignet sich die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden. Notwendig ist dazu die Berechnung der Steigung an diesem Punkt über die Ableitung \(f'(x)\) der Funktion$$f'(x)= 2x+4$$Die Tangente in \(X_1\) ist z.B.:$$t_1: \quad t_1(x)= f'(-1)(x-(-1)) + f(-1) = 2(x+1)+0 = 2x+2$$

https://www.desmos.com/calculator/xzz4hwips0

2) in welchen punkten des graphen ist die tangente zur x-Achse parallel, in welchen punkten parallel zur geraden 2x - y + 3 = 0

dort, wo die Parabel die selbe Steigung hat. Umgestellt heißt die Gerade $$g:\quad y = 2x+3$$d.h. ihre Steigung ist \(y'=2\). Setze das in die Ableitung \(f'\) der Parabel ein:$$f'(x)= 2x+ 4 = 2 \implies x = -1$$D.h. die Steigung der Tangente in \(X_1\) verläuft parallel zu \(g\) (blau).

3) in welchem punkt der graphen bildet die tangente mit der positiven ersten achse (x-achse) einen winkel von 45°?

45° entspricht einer Steigung von 1. Die Steigung ist \(f'(x)=1\) im Punkt \(Q\): $$f'(x)= 2x + 4 = 1 \implies x = -\frac32\\ Q=\left(-\frac32;\,f\left(\frac32\right) \right) = \left(-\frac32;\,-\frac34 \right)$$Bitte frage nach, falls noch etwas unklar ist

Gruß Werner