LU-Zerlegung mit Permutationsmatrix falsch berechnet?

Question

Aufgabe:

Mache eine LU/LR-Zerlegung mit Protokollmatrix (L) und Permutationsmatrix(P).

Unten im Bild seht ihr meinen Rechenweg

Problem/Ansatz:

Der Lehrer meinte, dass dies falsch wäre, jedoch verstehe ich nicht ganz warum. Rechnet man PA = LU dann ist dies doch eine wahre Aussage oder?

Text erkannt:

3.9) a) \( A=\left[\begin{array}{rcr}5 & 1 & 2 \\ 2 & 2 / 5 & 1 \\ -4 & 0 & 6\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3} . \quad P A=L U \)

Answer 1

Ich komm auf

\(\small \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{-4}{5}&1&0\\\frac{2}{5}&0&1\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rrr}5&1&2\\0&\frac{4}{5}&\frac{38}{5}\\0&0&\frac{1}{5}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rrr}5&1&2\\2&\frac{2}{5}&1\\-4&0&6\\\end{array}\right)   \)

ich steig bei Deiner Notation nicht durch...

Zur Kontrolle

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/206723

Im ersten Schritt 1. Spalte

\(\small \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{-2}{5}&1&0\\\frac{4}{5}&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)   \left(\begin{array}{rrr}5&1&2\\2&\frac{2}{5}&1\\-4&0&6\\\end{array}\right) =  \left(\begin{array}{rrr}5&1&2\\0&0&\frac{1}{5}\\0&\frac{4}{5}&\frac{38}{5}\\\end{array}\right)\)

nach einem Tausch 2<->3 ist man fertig

Comments

Sorry habe das alles relativ schlampig hingeschrieben. Mein Lehrer meinte, dass hier die erste Zeile nicht mit der Zweiten vertauschen könne, stimmt das? Eigentlich wäre es natürlich schlauer gewesen „5 1 2“ oben zu lassen, aber ist das ein Problem wenn ich die Zeile vertausche?

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Ja, weil die Pivotsuche das betragsgrößte Spaltenelement in die Pivotzeile zu tauschen hat, d.h. im ersten Schritt ist die Permutationsmatrix die id₃ - im zweiten Schritt hat man dann nur noch die Tauschmatrix 2<->3 ...

Du bekommst natürlich auch eine LR-Zerlegung heraus, die sich aber von der korrekten Spaltenpivotsuche unterscheidet und numerisch evtl. instabil ist....

Bei diesen Aufgaben ist eine sauber Schreibe die halbe Miete ;-)

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Ah perfekt vielen Dank! Muss man allgemein beim Gauss-Verfahren immer darauf achten, dass man das betragsgrößte Pivotelement in die Pivotzeile tauscht oder ist das z.B. nur hier bei der LR-Zerlegung von Bedeutung?

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Das dürfte beim händischen Arbeiten nur für den Pivotalgorithmus der LR Zerlegung zutreffen. Funktoniert aber auch für den Gauss-Algorithmus - nur entstehen u.U. Brüche - ich denke das wollest Du auf Deinem Weg auch vermeiden?

Mit der Pivotsuche versucht man das Problem zu vermeiden, das auf der Diagonalen eine Null zu stehen kommt (Division/0) und bei Rechen-Maschinen numerische Auslöschung zu vermeiden.

Es gibt auch ein Verfahren (Givens-Rotation), das ohne Pivotsuche auskommt.

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Tatsächlich haben wir auch schon die Givens-Rotation besprochen. Allerdings bin ich überrascht, dass wir nix über die Pivotsuche bezüglich der LR-Zerlegung besprochen haben, naja da habe ich auf jeden Fall was dazugelernt, vielen Dank nochmals!