Lösen der Gleichung x^3 - 8*x + 27= 0

Question

X³-8X+27=0

Ich bin für eine allgemeine Lösungen. Auch bei welchem Zustand es gibt keine Antwort

 

vielen Dank

Answer 1

f(x) = x^3 - 8·x + 27

Skizziere mal den Graphen im Bereich von -5 bis +5

Anhand der Wertetabelle vermuten wir eine Nullstelle zwischen -4 und -3. 

Einen sehr guten Näherungswert erhält man mit dem Newtonverfahren bei x = -3.869983672.

Wertere Nullstellen kann es nicht geben, da eine Funktion 3 Gerades nur 2 Extrempunkte hat die wir beide sehen können.

Answer 2

f(x) = x³-8x+27=0

Weil die höchste Potenz von x eine ungerade Potenz ist, muss es mindestens eine Lösung geben. Die findest du mit dem Newtonverfahren.

Nun bestimmst du die lokelen Extremalstellen und v.a. die Extremalwerte. Liegen beide auf der gleichen Seite der x-Achse, gibt es keine weitere Nullstelle. Ansonsten musst du noch weitersuchen: Zwischen den Extremalstellen sowie rechts und links davon.

Ableitung Null setzen

f ' (x) = 3x^2 - 8 = 0

3x^2  = 8

x^2 = 8/3

x = ± √(8/3)

f ( √(8/3) ) = 18.29
f ( - √(8/3) ) = 35.71  beide > 0 daher keine weitere Lösung.

Answer 3

Hi art,

ein Problem dritten Grades löst man normal über probieren. Zumindest dann, wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt. Dafür schaue Dir das Absolutglied an (also 27). Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann muss es auch ein Teiler von 27 sein.

Hier aber gibt es keine solche ganzzahlige Nullstelle und das Newtonverfahren kommt zur Verwendung. Schaue dafür mal hier rein:

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Ich komme auf etwa

x₁ ≈ -3,8700

 

Das wird durch das Schaubild bestätigt:

 

Grüße