Elemente und Untermengen

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antworten.

(i)       {1,1,2,2} = {1,2}

(ii)      2 ∈ {1,2}

(iii)     2 ⊆ {1,2}

(iv)     {1} ⊆ {1,2}

Problem/Ansatz:

Comments

Was hast du denn herausbekommen ?

---

Also ich denke, die erste Aussage ist wahr, weil alle  Elemente, die in der Linken Seite sind, sind auch in der Rechten Seite und umgekehrt.

Bei der zweiten Aussage bin ich mir nicht ganz sicher. Ich würde auch ja sagen, da 2 ist ein Element davon.

Bei der dritten Aussage habe ich falsch geschrieben, aber ich habe keine Ahnung, warum sie falsch ist.

Ich denke, die vierte Aussage ist auch wahr aber kA warum sie wahr ist.

Answer 1

i) wahr, gleiche Elemente werden nur einmal gezählt

ii) wahr (offensichtlich)

iii) falsch, 2 ist Element, aber nicht Teilmenge

iv) falsch, die Menge mit dem Element 1 ist keine Teilmenge.

Answer 2

Bis auf (iii) sind alle richtig.

2 ist keine Menge, sondern ein Element, daher ist ii richtig und iii falsch.

Bei (iv) stehen zwei Mengen und die 1 aus {1} kommt auch in {1,2} als Element vor. Daher ist iv richtig.

Comments

Bei (iv) stehen zwei Mengen und die 1 aus {1} kommt auch in {1,2} als Element vor. Daher ist iv richtig.

Das verstehe ich nicht.
{1,2} enthält nicht {1}

---

{1,2} enthält nicht {1}

Darum ist {1} kein Element von {1,2}.

Da {1,2} die 1 enthält, ist {1} eine Teilmenge von {1,2}.

Die Teilmengen von {1,2} sind

∅, {1}, {2}, {1,2}.

PS:

Ich gehe davon aus, dass das Komma kein Dezimalkomma sein soll, sondern die Elemente 1 und 2 trennt.

---

Ein Ei ist nicht dasselbe wie ein Sack mit einem Ei.

So oder ähnlich habe ich das einmal gelernt.

---

Deshalb werden ja auch die Begriffe "Element" und "Teilmenge" unterschieden.

Was ist denn eigentlich dein Kritikpunkt an meiner Antwort?

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

\((\mathrm i)\quad\{1,1,2,2\}=\{1,2\}\)

Falsch, denn \(\{1,1,2,2\}\) enthält doppelte Elemente und ist daher keine Menge.

\((\mathrm{ii})\quad 2\in\{1,2\}\)

Richtig, denn \(2\) ist ein Element der Menge \(\{1,2\}\).

\((\mathrm{iii})\quad 2\subseteq\{1,2\}\)

Falsch, denn \(2\) ist ein Element, keine Menge, es fehlen die Mengenklammern um die \(2\).

\((\mathrm{iv})\quad \{1\}\subseteq\{1,2\}\)

Richtig, denn die Menge mit dem Element \(1\) ist eine Teilmenge der Menge mit den Elementen \(1\) und \(2\).

Comments

(i) ist meiner Meinung nach richtig. Wikipedia stimmt mir dabei zu:

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, ... wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird.

---

In allen gängigen Programmiersprachen dürfen Mengen keine doppelten Elemente enthalten. So habe ich das damals auch in der Schule für mathematische Mengen gelernt. Das wäre ja auch schlimm. Stell dir vor, die Menge der reellen Zahlen hätte 2 Nullen, dann wäre das neutrale Element der Addition nicht eindeutig.

---

Auch wenn die Null zweimal aufgeführt wird, wäre es ja nur die einzige Null.

Und ob die Regeln für Programmiersprachen direkt auf die Mathematik übertragen werden können, kann ich mir nicht vorstellen.

---

Einzigartig heißt, dass es kein weiteres gibt. Daher kann man die Null nicht doppelt aufführen. Tut man es trotzdem, muss sich die zweite Null von der ersten irgendwie unterscheiden. In einer Menge sind immer unerschiedliche Elemente gesammelt.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass Wikipedia an dieser Stelle korrekt ist. Dann hätten die Entwickler und die Standardisierungs-Kommittees der Programmiersprachen das ja alle falsch gemacht ;)