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Hausaufgabe H.1.3
a) Es sei \( N \in \mathbb{N} \) eine feste Zahl, und für alle \( n \in \mathbb{N} \) seien nichtleere Mengen \( M_{n} \subset\{1, \ldots, N\} \) gegeben.
i) Zeige, dass
\( \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} M_{k} \neq \emptyset \)
gilt.
ii) Ist auch stets
\( \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} M_{k} \neq \emptyset \)
richtig?
iii) Zeige: Ist zusätzlich \( M_{n+1} \subset M_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \), so folgt \( \bigcap_{n=1}^{\infty} M_{n} \neq \emptyset \).
b) Ändern sich die Ergebnisse der Teilaufgaben aus a), wenn für alle \( n \in \mathbb{N} \) statt \( M_{n} \subset \) \( \{1, \ldots N\} \) lediglich \( M_{n} \subset \mathbb{N} \) vorausgesetzt wird?
