Aloha :)
Wir nehmen an, es gibt 2 ganze Zahlen \(n,m\in\mathbb Z\), die die Gleichung erfüllen, dann gilt:$$m^2-n^2=46\quad\big|\text{3-te binomische Formel links und Primfaktorzerlegung rechts}$$$$(m-n)\cdot(m+n)=2\cdot23\quad\text{oder}$$$$(m-n)\cdot(m+n)=1\cdot46$$Im ersten Fall erhalten wir daraus zwei Gleichungen$$\red{m-n=2}\quad\text{und}\quad \green{m+n=23}$$Wir addieren beide Gleichungen:$$\red{(m-n)}+\green{(m+n)}=\red2+\green{23}\implies 2m=25\implies m=12,5\notin\mathbb Z$$Im zweiten Fall erhalten wir die zwei Gleichungen$$\red{m-n=1}\quad\text{und}\quad \green{m+n=46}$$Wir addieren beide Gleichungen:$$\red{(m-n)}+\green{(m+n)}=\red1+\green{46}\implies 2m=47\implies m=23,5\notin\mathbb Z$$
In beiden Fällen erhalten wir für die Zahl \(m\) einen Widerspruch zu der Annahme, dass \(m\in\mathbb Z\) eine ganze Zahl ist.
Da \(n,m\in\mathbb Z\) zugelassen sind, müssten wir auch noch die Fälle \((-2)\cdot(-23)\) und \((-1)\cdot(-46)\) untersuchen. Beide Fälle führen aber analog dazu, dass \(2m\) eine ungerade Zahl sein müsste.
Daher gibt es tatsächlich keine 2 ganzen Zahlen \(n\) und \(m\), die die Gleichung erfüllen.
