Wie wurde dies umgeformt?

Question

Kann mir bitte jemand bei den Umformungen helfen?

^{2n > n}

Dann die Multiplikation beider Seiten mit 2:

2ⁿ⁺¹ > 2n

(Frage 1: Die rechte Seite verstehe ich, aber wieso entspricht die linke Seite einer Multiplikation mit 2?)

Und dann die Umformung in:

n + n ≥ n + 1

Bei der ich überhaupt nicht mehr verstehe, was hier für ein Umformungsschritt gemacht wurde.

Danke für alle Antworten!

Comments

Beim ersten funktioniert die linke Seite so, wegen der Potenzgesetze:

$$2\cdot 2^n=2\cdot \underbrace{2\cdots2}_{n-Mal}= \underbrace{2\cdots2}_{n+1-Mal}=2^{n+1}$$

Falls das nicht klar ist, einfach mal googeln.

Ich nehm an, du hast beim zweiten irgendwas Relevantes von der Aufgabe weggelassen. Meine Vermutung wäre das ihr 2^n>n für alle n>1 per Induktion beweisen sollt. Dann brauchst du 2n=n+n>n+1 im Induktionsschritt. n+n>n+1 ist ja nämlich für alle n>1 eigentlich eh klar.

Also ich glaube nicht, dass das eine Umformung ist, sondern einfach eine Aussage die stimmt, die ihr später im Beweis braucht.

LG

Answer 1

Aber 2ⁿ sind n Faktoren vom Wert 2 und wenn man das mal 2 nimmt, hat

man einen mehr, also 2ⁿ⁺¹ .

Answer 2

Und dann die Umformung in:
n + n ≥ n + 1
Bei der ich überhaupt nicht mehr verstehe, was hier für ein Umformungsschritt gemacht wurde.

Das ist keine Umformung, sondern eine Folgerung.

\(n\geq 1\). Auf beiden Seiten die gleiche Zahl \(n\) addieren:

\(n+n\geq n+1\).