Herleitung der simpsongleichung anhand der punkte

Question

Aufgabe:

Leiten Sie die Simpsonregel auf dem Intervall [0, 1] her, indem Sie durch die Punkte (0, f(0)),(1/2, f(1/2)),(1, f(1))
ein quadratisches Polynom legen und dieses anschließend integrieren.

Problem/Ansatz:

Wie ich die simsonregel herleite weiß ich aber wie mache ich das mit den punkten

Answer 1

Hallo,

... aber wie mache ich das mit den punkten

das was da steht:

indem Sie durch die Punkte (0, f(0)),(1/2, f(1/2)),(1, f(1)) ein quadratisches Polynom legen

Ein quadratisches Polynom $p(x)$ hat die allgemeine Form$$p(x) = ax^2+bx+c$$ jetzt gilt es die Parameter $a$, $b$ und $c$ in Abhängigkeit der drei Punkte zu berechnen. Es gilt$$p(0) = c = f(0) \\ p(0,5) = \frac14a + \frac12 b + c = f(0,5) \\ p(1) = a + b + c = f(1)$$$c$ ist somit bereits gegeben, Dann multipliziere die zweite Gleichung mit $4$ und ziehe die dritte davon ab:$$\begin{aligned} a + 2b &= 4f(0,5) - 4f(0) \\ a + b &= f(1) - f(0) \\ \implies b &= -3f(0) +4f(0,5) -f(1) \end{aligned}$$fehlt noch $a$ wozu man $b$ z.B. in die dritte Gleichung einsetzt:$$a = f(1) - f(0) - (-3f(0) +4f(0,5) -f(1)) = 2f(0) -4f(0,5) +2f(1)$$Demnach lautet das Polynom$$p(x)= (2f(0) -4f(0,5) +2f(1))x^2 + (-3f(0) +4f(0,5) -f(1))x+f(0)$$und das Integral von $0$ bis $1$:$$\begin{aligned}\int\limits_{0}^{1} p(x)\,\text dx &= \left.\frac13(2f(0) -4f(0,5) +2f(1))x^3 + \frac12(-3f(0) +4f(0,5) -f(1))x^2+f(0)x\right|_0^1 \\ &= \frac16\left( 4f(0) -8f(0,5) +4f(1) -9f(0) +12f(0,5) -3f(1) + 6f(0)\right) \\ &= \frac16\left(f(0) + 4f(0,5) + f(1)\right)\end{aligned}$$... ist genau die Simpson'sche Formel für ein Intervall von $1$.

Nochmal zum Veranschaulichen. Links steht das Integral und rechts die Simpson'sche Formel

Gruß Werner

Answer 2

Hallo

warum machst du nicht einfach, was vorgeschlagen ist? dann hast du doch die simpsonregel, d.h. es wird die Näherung von f zwischen 0 und 1 integriert.

Gruß lul

Comments

Da komm ich leider nicht weiter weil ich nicht weiß wie ich das ganze aufscheiben soll