Hallo,
... aber wie mache ich das mit den punkten
das was da steht:
indem Sie durch die Punkte (0, f(0)),(1/2, f(1/2)),(1, f(1)) ein quadratisches Polynom legen
Ein quadratisches Polynom \(p(x)\) hat die allgemeine Form$$p(x) = ax^2+bx+c$$ jetzt gilt es die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) in Abhängigkeit der drei Punkte zu berechnen. Es gilt$$p(0) = c = f(0) \\ p(0,5) = \frac14a + \frac12 b + c = f(0,5) \\ p(1) = a + b + c = f(1) $$\(c\) ist somit bereits gegeben, Dann multipliziere die zweite Gleichung mit \(4\) und ziehe die dritte davon ab:$$\begin{aligned} a + 2b &= 4f(0,5) - 4f(0) \\ a + b &= f(1) - f(0) \\ \implies b &= -3f(0) +4f(0,5) -f(1) \end{aligned} $$fehlt noch \(a\) wozu man \(b\) z.B. in die dritte Gleichung einsetzt:$$a = f(1) - f(0) - (-3f(0) +4f(0,5) -f(1)) = 2f(0) -4f(0,5) +2f(1) $$Demnach lautet das Polynom$$p(x)= (2f(0) -4f(0,5) +2f(1))x^2 + (-3f(0) +4f(0,5) -f(1))x+f(0)$$und das Integral von \(0\) bis \(1\):$$\begin{aligned}\int\limits_{0}^{1} p(x)\,\text dx &= \left.\frac13(2f(0) -4f(0,5) +2f(1))x^3 + \frac12(-3f(0) +4f(0,5) -f(1))x^2+f(0)x\right|_0^1 \\ &= \frac16\left( 4f(0) -8f(0,5) +4f(1) -9f(0) +12f(0,5) -3f(1) + 6f(0)\right) \\ &= \frac16\left(f(0) + 4f(0,5) + f(1)\right)\end{aligned}$$... ist genau die Simpson'sche Formel für ein Intervall von \(1\).
Nochmal zum Veranschaulichen. Links steht das Integral und rechts die Simpson'sche Formel
Gruß Werner
