Bestimmen Sie einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten so, dass der Graph der Funktion einen Sattelpunkt hat

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten b und c, sodass der Graph der Funktion f mit f(x) = x ^ 3 + b * x ^ 2 + cx + d einen Sattelpunkt hat. Begründen Sie, dass die Funktion f in diesem Fall keine Extremstellen hat.

Problem/Ansatz:

Ableitung:

f(x) = 3x + b * x ^ 2 + cx + d

f‘ (x) =3+2bx+c

f‘‘(x) = 2b

f‘‘‘(x) = 0

Wenn f‘‘‘(x)=0 ist, dann kann es doch kein Sattelpunkt mehr sein weil ja für ein SP folgende Bedingung leitet:

f‘(x)=0.     f‘‘(x)=0.    f‘‘‘(x)≠0

Answer 1

f(x) = x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·x^2 + 2·b·x + c
f''(x) = 6·x + 2·b = 0 --> x = - b/3

f'(- b/3) = 3·(- b/3)^2 + 2·b·(- b/3) + c = 0 --> c = b^2/3

c muss demnach 1/3·b^2 sein.

Für einen Sattelpunkt braucht die erste Ableitung eine zweifache Nullstelle bei einer Funktion dritten Grades. Damit sind dann aber beide Nullstellen der ersten Ableitung aufgebraucht.

Answer 2

f(x) = x ^ 3 + b * x ^ 2 + cx + d

f ' (x) = 3x ^ 2 + 2b * x  + c

f ' ' (x) = 6x  + 2b

f ' ' ' (x) = 6