Ich wäre dankbar, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen kann. Habe leider keine Ansätze.
Aufgabe:
Es sei \( E \) ein Banachraum über \( \mathbb{C} \). Für \( A \in L(E) \) definiert man
\(\cos A:=\frac{1}{2}\left(e^{i A}+e^{-i A}\right) \quad \text { und } \quad \sin A:=\frac{1}{2 i}\left(e^{i A}e^{-i A}\right)\)
(a) geben Sie die Potenzreihendarstellungen für die Funktionen \( \cos : L(E) \rightarrow L(E) \) und \( \sin : L(E) \rightarrow L(E) \) an. In welchem Sinn konvergieren diese Reihen?
(b) Untersuchen Sie, ob die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen \( \cos : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) und \( \sin : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) auch für ihre oben definierten operatorwertigen Verallgemeinerungen gelten.
(c) Zeigen Sie, dass \( Y(t):=\cos (t A) \) mit \( t \in \mathbb{R} \) dem Anfangswertproblem \( Y(0)=I \), \( Y^{\prime}(0)=0 \) für die gewöhnliche (Operator-) Differenzialgleichung
\(Y^{\prime \prime}+A^{2} Y=0\)
genügt. Welches Anfangswertproblem wird von \( Z(t):=\sin (t A) \) gelöst?
(d) Nun sei \( A \in L(E) \) invertierbar und \( F \in C([-T, T], L(E)) \). Bestimmen Sie eine "Variation der Konstanten"- bzw. Duhamel-Formel für die Lösung des Problems \( Y(0)=Y^{\prime}(0)=0 \) für die inhomogene lineare Gleichung
\(Y^{\prime \prime}+A^{2} Y=F\)
