Vollständige Induktion Ungleichung 2n≥n2

Question

Beweis mittels Vollständiger Induktion

Für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 4 gilt 2^n≥n^2

Answer 1

IA 2^4=4² ✓

IV 2^n≥n² für n

ISchritt: Gilt 2^{n+1}≥(n+1)²

2^{n+1}=2•2^n ≥ 2•n² = n²+n² ≥ n²+2n+1=(n+1)²

Zu zeigen: n²≥2n+1

n²-2n+1≥2

(n-1)²≥2

Für n≥4 ist das sicher richtig.

:-)

Answer 2

Induktionsanfang: n=4  2^4=16 ist größer gleich 16=4^2

Induktionsannahme: 2^n >= n^2

Induktionsschritt: 2^(n+1) = 2^n * 2 >= n^2 * 2 >= n^2+2n+1 = (n+1)^2

Die letzte Ungleichung kann man so zeigen:

2n^2 >= n^2+2n+1

n^2 >= 2n+1

Man sieht, dass die linke Seite der Ungleichung schneller wächst als die rechte, denn n^2 wächst bedeutend schneller als 2n.