Welches einbeschriebene Rechteck hat maximalen Flächeninhalt?

Question

Aufgabe:

Gegehen ist die Funktion \( f(x)=6-\frac{1}{6} x^{2} \),

Wolches einbeschriebene Rechteck (Seiten parallel su den Koordinatenachsen, siehe Grafik) lat. maximalen Flacheninhalt?

Problem/Ansatz:

Ich hatte einen Ansatz, von dem ich überzeugt war, doch mein Lehrer hat gesagt, dass es falsch sei. Auch hier verstehe ich nicht, was die Nebenbedingung sein soll?

Answer 1

vorne weg: Dein Bild ist um 90° gedreht. Damit ich mir den Hals nicht verdrehe, habe ich es in einem anderen Programm angeschaut. Wenn du A für die Fläche verwendest, bleib bitte beim großen A.

Deine Rechnung ist grundsätzlich richtig. Du hast Maximum für x·y ausgerechnet. Das ist dann die Fläche in einem Quadranten. Das ganze Rechteck hat dann die Fläche 2·x·y.

Das x für die max. Fläche ist x=\( \sqrt{12} \) . Auch das ist richtig,

 \( \sqrt{12} \) ≈ 3,4641 aber auch ≈ -3,4641.

Ich kann nicht sagen, wie korrekt das alles angegeben werden soll.

Das max. Rechteck hat die x-Werte -\( \sqrt{12} \) und +\( \sqrt{12} \) , der zugehörige y-Wert ist 4. Die 4 kann man in deiner Rechnung nicht gut erkennen.

Answer 2

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=6-\frac{1}{6} x^{2} \). Welches einbeschriebene Rechteck (Seiten parallel zu den Koordinatenachsen, siehe Grafik) hat maximalen Flächeninhalt?

Hauptbedingung: \(A(u,v)=2*u*v\) soll maximal werden.

Nebenbedingung: \(v=6-\frac{1}{6}* u^{2} \)

\(A(u)=2*u*(6-\frac{1}{6}* u^{2})=12u-\frac{1}{3}*u^3\)

\(A´(u)=12-u^2\)

\(12-u^2=0\)       \(u=+-\sqrt{12}\)      \(v=6-\frac{1}{6}*12=4\)

\(A=2*\sqrt{12}*4=16*\sqrt{3}\)