Aufgabe:
Seien \( A, M \) und \( \mathcal{I} \) nichtleere Mengen. Weiterhin seien \( M_{i} \subset M \), für \( i \in \mathcal{I} \). Zeigen Sie:
i) \( \left(A \times \bigcap_{i \in \mathcal{I}} M_{i}\right)=\bigcap_{i \in \mathcal{I}}\left(A \times M_{i}\right) \)
ii) \( \bigcup_{i \in \mathcal{I}} P\left(M_{i}\right) \subseteq P\left(\bigcup_{i \in \mathcal{I}} M_{i}\right) \)
iii) \( \overline{\left(\bigcup_{i \in \mathcal{I}} M_{i}\right)}=\bigcap_{i \in \mathcal{I}} \overline{M_{i}} \).
Gilt in ii) sogar Gleichheit? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
Problem/Ansatz:
Hallo, ich habe die allgemeine Mengenlehre ziemlich gut verstanden, tatsächlich fällt es mir nur sehr schwer mit der Indexmenge umzugehen, weil es dazu kaum Beschreibungen in Büchern und Webseiten gibt. Ich verstehe weder die Bedeutung davon, noch wie Umformungen bzw. die allgemeine Anwendung funktioniert.
des Weiteren weiß ich auch nicht, wie ich in den oberen Aufgaben das Kartesische Produkt und die Potenzmenge umschreiben kann, sodass ich sie umformen kann.
Vielleicht kann mir hier jemand helfen.
