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Kann mir bitte jemand mit dieser Aufgabe helfen?

Die Mengen {An | n ∈ ℕ} sind durch An := {k ∈ ℕ | k ≥ n} gegeben.

(a) Bestimmen Sie A23 ∩ A111.
(b) Bestimmen Sie Ui∈ {2, 3, 4} Ai
(c) In welcher Beziehung müssen i; j und m stehen, damit Ai ∪ Aj = Am gilt.
(d) In welcher Beziehung müssen i; j und m stehen, damit Ai ∩ Aj = Am gilt.
 

Vielleicht kann mir ja jemand ein paar Ansätze liefern, wie so etwas zu lösen ist. Die ganzen Indizes verwirren mich etwas.

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An := {k ∈ ℕ | k ≥ n} gegeben.

Tipp: Schreibe die Mengen in aufzählender Form:

A1 = {1,2,3,4,5,…}

A2 = {2,3,4,5,6,…}

A23 = {23, 24, 25, ...}

Jetzt kannst du die Antworten zu den Fragen wohl einfach hinschreiben.

Hier meine Resultate:

(a) Bestimmen Sie A23 ∩ A111 = A111.

(b) Bestimmen Sie Ui∈ {2, 3, 4} Ai = A2


(c) In welcher Beziehung müssen i; j und m stehen, damit Ai ∪ A= Am gilt. 

m = min{i,j}
(d) In welcher Beziehung müssen i; j und m stehen, damit Ai ∩ A= Am gilt. 

m = max{i,j}

Avatar von 162 k 🚀
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Oooch, das ist noch halbwegs einfach, es geht auch noch komplizierter :-)

 

Betrachten wir doch mal, was die Definition denn bedeutet.

1) Es gibt die Mengen A 1, A 2 , A 3 , ... 

2) Jede dieser Mengen besteht aus allen natürlichen Zahlen k, die größer oder gleich dem Index der jeweiligen Menge ist, also: 

A1 = { 1, 2, 3, ... }, A2 = { 2, 3, 4, ...}, A3 = { 3, 4, 5, ...}

Ich denke, man erkennt, wie die Mengen aufgebaut sind.

 

zu a)

A 23 = { 23, 24, 25, ... }, A111 = { 111, 112, 113, ... }

also:

A 23 ∩ A 111 = { 23, 24, 25, ... } ∩ { 111, 112, 113, ... } = { 111, 112, 113, ... } = A 111

 

zu b)

Hier soll die Vereinigungsmenge der Mengen A 2 , A 3 , und A 4 gebildet werden, also:

A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 = { 2, 3, 4, ...} ∪ { 3, 4, 5, ...} ∪ { 4, 5, 6, ... } =  { 2, 3, 4, ...} = A 2

 

zu c)

Offensichtlich (siehe auch zu b) ) gilt ja:

A i ∪ A j = A i falls j >= i

bzw.

A i ∪ A j = A j sonst

Die Vereinigungsmenge ist also immer gleich derjenigen der zu vereinigenden Mengen, die den niedrigsten Index hat. Das kann man so formulieren: 

A i ∪ A j  = A m <=> ( m = i ≤ j ) oder ( m = j ≤ i )

 

zu d)

Bei der Schnittmenge ist es gerade umgekehrt. Hier gilt (siehe auch zu a) ):

A i ∩ A j = A j falls j >= i

bzw.

A i ∩ A j = A i sonst

Die Vereinigungsmenge ist also immer gleich derjenigen der zu schneidenden Mengen, die den höchsten Index hat. Das kann man so formulieren: 

A i ∩ A j = A m <=> ( i ≤ m = j ) oder ( j ≤ m = i  )

Avatar von 32 k
Danke für diese ausführliche Antwort, hat mir sehr geholfen! :)

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