Oooch, das ist noch halbwegs einfach, es geht auch noch komplizierter :-)
Betrachten wir doch mal, was die Definition denn bedeutet.
1) Es gibt die Mengen A 1, A 2 , A 3 , ...
2) Jede dieser Mengen besteht aus allen natürlichen Zahlen k, die größer oder gleich dem Index der jeweiligen Menge ist, also:
A1 = { 1, 2, 3, ... }, A2 = { 2, 3, 4, ...}, A3 = { 3, 4, 5, ...}
Ich denke, man erkennt, wie die Mengen aufgebaut sind.
zu a)
A 23 = { 23, 24, 25, ... }, A111 = { 111, 112, 113, ... }
also:
A 23 ∩ A 111 = { 23, 24, 25, ... } ∩ { 111, 112, 113, ... } = { 111, 112, 113, ... } = A 111
zu b)
Hier soll die Vereinigungsmenge der Mengen A 2 , A 3 , und A 4 gebildet werden, also:
A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 = { 2, 3, 4, ...} ∪ { 3, 4, 5, ...} ∪ { 4, 5, 6, ... } = { 2, 3, 4, ...} = A 2
zu c)
Offensichtlich (siehe auch zu b) ) gilt ja:
A i ∪ A j = A i falls j >= i
bzw.
A i ∪ A j = A j sonst
Die Vereinigungsmenge ist also immer gleich derjenigen der zu vereinigenden Mengen, die den niedrigsten Index hat. Das kann man so formulieren:
A i ∪ A j = A m <=> ( m = i ≤ j ) oder ( m = j ≤ i )
zu d)
Bei der Schnittmenge ist es gerade umgekehrt. Hier gilt (siehe auch zu a) ):
A i ∩ A j = A j falls j >= i
bzw.
A i ∩ A j = A i sonst
Die Vereinigungsmenge ist also immer gleich derjenigen der zu schneidenden Mengen, die den höchsten Index hat. Das kann man so formulieren:
A i ∩ A j = A m <=> ( i ≤ m = j ) oder ( j ≤ m = i )