Wie löst man diese Mengenaufgabe? A_n := {k ∈ ℕ | k ≥ n} gegeben. A_23 ∩ A_111=?.

Question

Kann mir bitte jemand mit dieser Aufgabe helfen?

Die Mengen {A_n | n ∈ ℕ} sind durch A_n := {k ∈ ℕ | k ≥ n} gegeben.

(a) Bestimmen Sie A₂₃ ∩ A₁₁₁.
(b) Bestimmen Sie U_{i∈ {2, 3, 4}} Ai
(c) In welcher Beziehung müssen i; j und m stehen, damit A_i ∪ A_j = A_m gilt.
(d) In welcher Beziehung müssen i; j und m stehen, damit A_i ∩ A_j = A_m gilt.
 

Vielleicht kann mir ja jemand ein paar Ansätze liefern, wie so etwas zu lösen ist. Die ganzen Indizes verwirren mich etwas.

Answer 1

A_n := {k ∈ ℕ | k ≥ n} gegeben.

Tipp: Schreibe die Mengen in aufzählender Form:

A1 = {1,2,3,4,5,…}

A2 = {2,3,4,5,6,…}

A23 = {23, 24, 25, ...}

Jetzt kannst du die Antworten zu den Fragen wohl einfach hinschreiben.

Hier meine Resultate:

(a) Bestimmen Sie A₂₃ ∩ A₁₁₁ = A₁₁₁.

(b) Bestimmen Sie U_{i∈ {2, 3, 4}} Ai = A₂

(c) In welcher Beziehung müssen i; j und m stehen, damit A_i ∪ A_j = A_m gilt. 

m = min{i,j}
(d) In welcher Beziehung müssen i; j und m stehen, damit A_i ∩ A_j = A_m gilt. 

m = max{i,j}

Answer 2

Oooch, das ist noch halbwegs einfach, es geht auch noch komplizierter :-)

 

Betrachten wir doch mal, was die Definition denn bedeutet.

1) Es gibt die Mengen A ₁, A ₂ , A ₃ , ... 

2) Jede dieser Mengen besteht aus allen natürlichen Zahlen k, die größer oder gleich dem Index der jeweiligen Menge ist, also: 

A₁ = { 1, 2, 3, ... }, A₂ = { 2, 3, 4, ...}, A₃ = { 3, 4, 5, ...}

Ich denke, man erkennt, wie die Mengen aufgebaut sind.

 

zu a)

A ₂₃ = { 23, 24, 25, ... }, A₁₁₁ = { 111, 112, 113, ... }

also:

A ₂₃ ∩ A ₁₁₁ = { 23, 24, 25, ... } ∩ { 111, 112, 113, ... } = { 111, 112, 113, ... } = A ₁₁₁

 

zu b)

Hier soll die Vereinigungsmenge der Mengen A ₂ , A ₃ , und A ₄ gebildet werden, also:

A ₂ ∪ A ₃ ∪ A ₄ = { 2, 3, 4, ...} ∪ { 3, 4, 5, ...} ∪ { 4, 5, 6, ... } =  { 2, 3, 4, ...} = A ₂

 

zu c)

Offensichtlich (siehe auch zu b) ) gilt ja:

A _i ∪ A _j = A _i falls j >= i

bzw.

A _i ∪ A _j = A _j sonst

Die Vereinigungsmenge ist also immer gleich derjenigen der zu vereinigenden Mengen, die den niedrigsten Index hat. Das kann man so formulieren: 

A _i ∪ A _j  = A _m <=> ( m = i ≤ j ) oder ( m = j ≤ i )

 

zu d)

Bei der Schnittmenge ist es gerade umgekehrt. Hier gilt (siehe auch zu a) ):

A _i ∩ A _j = A _j falls j >= i

bzw.

A _i ∩ A _j = A _i sonst

Die Vereinigungsmenge ist also immer gleich derjenigen der zu schneidenden Mengen, die den höchsten Index hat. Das kann man so formulieren: 

A _i ∩ A _j = A _m <=> ( i ≤ m = j ) oder ( j ≤ m = i  )

Comments

Danke für diese ausführliche Antwort, hat mir sehr geholfen! :)