Mengenlehre: Es sei N ∈ N eine feste Zahl, und für alle n ∈ N seien nichtleere Mengen Mn ⊂ {1, . . . , N} gegeben.

Question

a) Es sei \( N \in \mathbb{N} \) eine feste Zahl, und für alle \( n \in \mathbb{N} \) seien nichtleere Mengen \( M_{n} \subset\{1, \ldots, N\} \) gegeben.
i) Zeige, dass
\( \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} M_{k} \neq \emptyset \)
gilt.
ii) Ist auch stets
\( \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} M_{k} \neq \emptyset \)
richtig?
iii) Zeige: Ist zusätzlich \( M_{n+1} \subset M_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{\text {, so folgt }} \bigcap_{n=1}^{\infty} M_{n} \neq \emptyset \).
b) Ändern sich die Ergebnisse der Teilaufgaben aus a), wenn für alle \( n \in \mathbb{N} \) statt \( M_{n} \subset \) \( \{1, \ldots N\} \) lediglich \( M_{n} \subset \mathbb{N} \) vorausgesetzt wird?

Answer 1

a)

i) Sei

        \(\varphi(n) = m\in \mathbb{N}\)

falls \(n\in M_m\) und für alle \(i > m\) gilt \(n\notin M_i\), und

       \(\varphi(n) = \infty\)

falls für alle \(m\in \mathbb{N}\) ein \(i > m\) mit \(n \in M_i\) existiert.

Dann ist

       \( \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} M_{k} = \{n\in \{1, \ldots, N\} |\ \varphi(n) = \infty\}\).

ii) Nein.

iii) Trivial.

b) Ja.