Zeigen Sie, dass wenn A_{n} \uparrow A , d.h.

Question

Aufgabe:

Sei \( P \) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Ereignisraum \( (\Omega, \mathcal{A}) \) und \( A_{n} \in \mathcal{A} \), für alle \( n \in \mathbb{N} \).
a) Zeigen Sie, dass wenn \( A_{n} \uparrow A \), d.h. \( A_{1} \subset A_{2} \subset \ldots \) und \( A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \), so gilt \( P\left(A_{n}\right) \rightarrow P(A) \) für \( n \rightarrow \infty \).
b) Zeigen Sie, dass wenn \( A_{n} \downarrow A \), d.h. \( A_{1} \supset A_{2} \supset \ldots \) und \( A=\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \), so gilt \( P\left(A_{n}\right) \rightarrow P(A) \) für \( n \rightarrow \infty \).

Problem/Ansatz:

Kann jemand einen Ansatz geben für beide Teilaufgaben und was ist dieser Pfeil der nach oben zeigt?

Answer 1

d.h.

Das ist eine Abkürzung für "das heißt".

Mit diesen Wörtern wird darauf hingewiesen, dass das was vorher steht im folgenden noch ein mal anders formuliert widergegeben wird.

und was ist dieser Pfeil der nach oben zeigt?

Was das heißt steht in der Aufgabenstellung.

Comments

Das mit dem Pfeil nach oben verstehe ich immer noch nicht und habt ihr einen Ansatz für die Teilaufgaben?

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Was verstehst du an

        \( A_{n} \uparrow A \) bedeutet \( A_{1} \subset A_{2} \subset \ldots \) und \( A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \)

nicht?

Answer 2

Bei a) kannst Du so vorgehen: Definiere \(B_1:=A_1\) und für \(k<1\) \(B_k:=A_k \setminus A_{k-1}\). Dann überlege: Was ist

$$\bigcup_{k=1}^n B_k? \qquad \bigcup_{k=1}^{\infty} B_k?$$

$$\sum_{k=1}^n P(B_k)?\qquad \sum_{k=1}^{\infty} P(B_k)?$$