Zeigen Sie, dass diese Ungleichung für das Intervall (0, 1) gilt

Question

Aufgabe:

Zeige für alle \( h \in[0,1] \) :
\( 1+h \leq \exp (h) \leq 1+2 h . \)

Problem/Ansatz:

Danke!

Answer 1

f ung g sind folgende auf ganz R stetige Funktionen

f(x) = exp(x)
g(x) = x + 1

Dabei gilt

f(0) = g(0) und f'(x) ≥ g'(x) für 0 ≤ x ≤ 1

Daraus folgt das

f(x) ≥ g(x) für 0 ≤ x ≤ 1

Comments

Danke! und warum ist exp(x) < 1+2x

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Fällt dir das wirklich so schwer?

Skizziere mal

exp(x) ≤ 2x + 1
d(x) = exp(x) - 2x - 1 [≤ 0]

Es ist zu zeigen, dass diese Funktion im gewählten Intervall keine positiven Funktionswerte hat.

d(x) hat einen Tiefpunkt.bei x = ln(2). Links vom Tiefpunkt ist die Funktion streng monoton fallend, rechts vom Tiefpunkt ist sie streng monoton steigend.

Die Nullstelle Links kennen wir mit x = 0 also dem Anfang des Intervalls. Begründe jetzt, dass es im Intervall [ln(2) ; 1] keine Nullstelle gibt, da an der rechten Intervallgrenze immer noch gilt d(1) < 0 gilt.

Das ist doch nicht so schwer oder?

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alles ist klar, danke für gute Erklärung!

Answer 2

Exp(h)= 1 + h + h^2/2! + h^3/3! + h^4/4! + ...