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x^4 = 16

Benutzen Sie zur Bestimmung der Lösung die Polarform, und überprüfen Sie die
Lösung ohne Verwendung der Polarform.

Ich bin wie folgt vorgegangen:

x^4-16=0

x^2+4=0  (Faktorisieren)

(x+2i)*(x-2i)=0

x=-2i, 2i

|x|=√-2^2=2

|x|=√2^2=2

Wie genau funktioniert das jetzt mit der Polarform?

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x^4 = 16

x^4 = 16·e^(i·(0 + k·2·pi))

x = 2·e^(i·(0 + k·1/2·pi))

x = 2·e^(i·(k·1/2·pi)) für k = 0, 1, 2, 3

x1 = 2·e^(i·(0·1/2·pi)) = 2
x2 = 2·e^(i·(1·1/2·pi)) = 2·i
x3 = 2·e^(i·(2·1/2·pi)) = - 2
x4 = 2·e^(i·(3·1/2·pi)) = - 2·i

Überprüfe jetzt die Lösungen indem du die Lösungen hoch 4 nimmt.

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Ist es auch irwie möglich ohne der Eulerschen Identität zu arbeiten?

Die Euler-Identität wurde hier nicht benutzt. Ich benutze nur die Exponential-Form und nicht die Trigonometrische- Form.

In dieser Form kann man die Rechnung leichter verstehen finde ich als wenn ich das in der trigonometrischen Form vormachen würde.

Aber wie würde dies in der trigonometrischen Form genau ausschauen?

Ich mache das nur mal an der ersten Lösung vor, weil die restlichen exakt genau so funktionieren.

x1 = 2·e^(i·(0·1/2·pi)) = 2

x1 = 2·(cos(0·1/2·pi) + i·sin(0·1/2·pi)) = 2

Wieso kann man das mit 1/2*pi schreiben? Für Potenzen in der Polarform gilt ja: z^n=|z|^n*(cos(n*φ)+i*sin(n*φ))

n ist doch hier 1/4, weil du die 4. Wurzel ziehen musst.

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Zu deinem Vorgehen habe ich folgende Ergänzungen:

x4-16=0 (Faktorisieren)

(x2+4)·(x2-4)=0  

(x+2i)·(x-2i)·(x+2)·(x-2)=0

x1=-2i, x2=2i, x3=2, x4= - 2.

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Das wäre eine sehr schöne und richtige Lösung. Widerspricht aber leider der Aufgabenstellung

Benutzen Sie zur Bestimmung der Lösung die Polarform

Das Zitat geht noch weiter:

...und überprüfen Sie die Lösung ohne Verwendung der Polarform.

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