Finden Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung w^{3}=-1-{i} .

Question

Aufgabe:

20. Finden Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung \( w^{3}=-1-\mathrm{i} \).
21. Berechnen Sie \( \mathrm{i}^{\mathrm{i}} \).

Problem/Ansatz:

Bei beiden Aufgaben komme ich momentan nicht weiter oder habe keinen guten Ansatz gefunden. Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Hallo,

zu 21)

i = e^{iπ/2}

Nun noch "hoch i" rechnen.

Zu 20)

Es muss drei Lösungen geben. Am besten findest du eine Lösung mit der Polarform. Dann musst du zum Winkel 120° und 240° bzw. 2π/3 und 4π/3 addieren.

-1-i hat den Betrag √2. Für den Betrag von w muss nun noch die dritte Wurzel gezogen werden, das ergibt die 6. Wurzel aus 2.

Da der Zeiger in der Gauß'schen Ebene im III. Quadranten liegt, ist sein Winkel

180°+45°=215° bzw. π + π/4 = 5π/4

Für den Winkel von w1 muss durch 3 dividiert werden, also 5π/12.

Jetzt noch 8π/12 und 16π12 addieren:

--> 13π/12 für w2

--> 21π/12 = 7π/4 = -π/4 für w3

:-)

Comments

Ah ok danke die Aufgabe 21 habe ich verstanden, aber kannst du mir noch bei der Aufgabe 20 weiterhelfen? Die Lösungen da sind: 20. \( w_{1}=\sqrt[6]{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{4} \mathrm{i}}, w_{2}=\sqrt[6]{2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{12} \mathrm{i}}, w_{3}=\sqrt[6]{2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{13 \pi}{12} \mathrm{i}} \)

Aber bei mir kommt etwas komplett anderes raus, was auch nicht viel Sinn macht. Also ich hatte zum Beispiel statt Wurzel6 aus 2 Wurzel3 aus w geschrieben

---

Ich habe meine Antwort ergänzt.

Answer 2

| -1-i| = √2  und arg(-1-i)=5π/4

Also hat die erste der 3. Wurzeln arg=5π/13 und Betrag 2^(1/6) .

w1=2^(1/6) *exp(5*π*i/12)   etc.

Und iⁱ=exp(-π/2).