Question

Finden Sie alle komplexen Lösungen der Gleichungen
x^4 = 16

Benutzen Sie zur Bestimmung der Lösung die Polarform, und überprüfen Sie die
Lösung ohne Verwendung der Polarform.

Ich bin wie folgt vorgegangen:

x^4-16=0

x^2+4=0  (Faktorisieren)

(x+2i)*(x-2i)=0

x=-2i, 2i

|x|=√-2^2=2

|x|=√2^2=2

Wie genau funktioniert das jetzt mit der Polarform?

Answer 1

x^4 = 16

x^4 = 16·e^(i·(0 + k·2·pi))

x = 2·e^(i·(0 + k·1/2·pi))

x = 2·e^(i·(k·1/2·pi)) für k = 0, 1, 2, 3

x1 = 2·e^(i·(0·1/2·pi)) = 2
x2 = 2·e^(i·(1·1/2·pi)) = 2·i
x3 = 2·e^(i·(2·1/2·pi)) = - 2
x4 = 2·e^(i·(3·1/2·pi)) = - 2·i

Überprüfe jetzt die Lösungen indem du die Lösungen hoch 4 nimmt.

Comments

Ist es auch irwie möglich ohne der Eulerschen Identität zu arbeiten?

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Die Euler-Identität wurde hier nicht benutzt. Ich benutze nur die Exponential-Form und nicht die Trigonometrische- Form.

In dieser Form kann man die Rechnung leichter verstehen finde ich als wenn ich das in der trigonometrischen Form vormachen würde.

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Aber wie würde dies in der trigonometrischen Form genau ausschauen?

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Ich mache das nur mal an der ersten Lösung vor, weil die restlichen exakt genau so funktionieren.

x1 = 2·e^(i·(0·1/2·pi)) = 2

x1 = 2·(cos(0·1/2·pi) + i·sin(0·1/2·pi)) = 2

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Wieso kann man das mit 1/2*pi schreiben? Für Potenzen in der Polarform gilt ja: z^n=|z|^n*(cos(n*φ)+i*sin(n*φ))

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n ist doch hier 1/4, weil du die 4. Wurzel ziehen musst.

Answer 2

Zu deinem Vorgehen habe ich folgende Ergänzungen:

x⁴-16=0 (Faktorisieren)

(x²+4)·(x²-4)=0  

(x+2i)·(x-2i)·(x+2)·(x-2)=0

x₁=-2i, x₂=2i, x₃=2, x₄= - 2.

Comments

Das wäre eine sehr schöne und richtige Lösung. Widerspricht aber leider der Aufgabenstellung

Benutzen Sie zur Bestimmung der Lösung die Polarform

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Das Zitat geht noch weiter:

...und überprüfen Sie die Lösung ohne Verwendung der Polarform.