Wahrscheinlichkeit für genau 2 defekte Transitoren bei Stichprobe von 5 von insgesamt 100 Transistoren?

Question

Aufgabe:

In einer Lieferung von 100 Transistoren sind 10 defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden bei Entnahme einer Stichprobe von 5 Transistoren genau 2 defekte
Transistoren entdeckt?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die richtige Lösung (10 über 2)*(90 über 3)÷(100 über 5)= 7,02% ist und verstehe diesen Rechenweg auch.

Doch ich habe zuerst so gerechnet:

10*9*90*89*88 / 100*99*98*97*96 * 5! = 0,843

Ich bin also davon ausgegangen, dass die Stichproben geordnet sind und habe versucht alle möglichen Anordnungen, bei denen 2 T defekt sind durch die Anzahl aller möglichen 5-Tupel zu teilen. Davor habe ich mir ein grobes Baumdiagramm gezeichnet. Ich dachte halt, dass die Wahrscheinlichkeit für jedes Tupel gleich sein müsste und ich somit P(d,d,f,f,f) (f=funktioniert) mit 5! multiplizieren kann (Anzahl an Anordnungen) und so auf die Gesamtwahrscheinlichkeit komme.

Doch anscheinend habe ich einen Denkfehler. Kann mir jemand erklären, wo mein Fehler liegt?

Vielen Dank im Voraus!

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Ergänzung: Und warum kommt das richtige Ergebnis raus, wenn ich statt mit 5! mit 10 multipliziere?

Answer 1

In einer Lieferung von 100 Transistoren sind 10 defekt.

Die Anzahl der defekten Transistoren in einer Stichprobe ist hypergeometrisch verteilt.

10*9*90*89*88

Andere mögliche Reihenfolgen sind

• \(10\cdot90\cdot9\cdot89\cdot88\)
• \(10\cdot90\cdot89\cdot9\cdot88\)
• \(10\cdot90\cdot89\cdot88\cdot9\)
• \(90\cdot10\cdot9\cdot89\cdot88\)
• \(90\cdot10\cdot89\cdot9\cdot88\)
• \(90\cdot10\cdot89\cdot88\cdot9\)
• \(90\cdot89\cdot10\cdot9\cdot88\)
• \(90\cdot89\cdot10\cdot88\cdot9\)
• \(90\cdot89\cdot88\cdot10\cdot9\)

Davor habe ich mir ein grobes Baumdiagramm gezeichnet.

In diesem Baumdiagramm gibt es keinen Pfad, auf dem die Wahrscheinlichkeiten

        \(\frac{9}{100}\), \(\frac{10}{99}\), \(\frac{90}{98}\), \(\frac{89}{97}\) und \(\frac{88}{96}\)

in dieser Reihenfolge liegen. Diese Reihenfolge zählt aber zu den \(5!\) verschiedenen Reihenfolgen, die du in deine Rechnung hast einfließen lassen.

Stattdessen werden aus den 5 Ebenen des Baumdiagramms 2 Ebenen ausgewählt, auf denen die defekten Teile liegen. Das ergibt \({5 \choose 2} = 10 \) geeignete Pfade.

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Vielen Dank, das ist sehr einleuchtend! Ich gebe zu, dass mein Baumdiagramm wohl ZU grob war! (bzw. ich ein bisschen faul ☺)

Answer 2

Alternativ:

10/100*9/99 *90/98*89/97*88/96 *(5über2) = 7,02%

zum Vergleich:

(10über2)*(90über3)/(100über5) = 7,02%

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Ja genau, danke nochmal! :)

Ich habe noch eine Frage:

Wie genau kommt man auf die (5 über 2) ?

Das mit den Ebenen in einem Baumdiagramm hatten wir so noch nie.

Rechnet man für die Anzahl an Anordnungen einfach („Anzahl an gezogenen Elementen“ über „Anzahl an gleichen Elementen“)? Denn (5über3) ist ja auch 10.

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Wie genau kommt man auf die (5 über 2) ?

Das sind die verschiedenen Reihenfolgen = Äste.