Stichprobe 2 oder mehr defekte Glühbirnen?

Question

Aufgabe:

Eine Serienproduktion von Glühbirnen hat einen Ausschussanteil von 3%. Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang 67 entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Stichprobe 2 oder mehr defekte Glühbirnen? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Problem/Ansatz:

Hallo ich hab ein paar mal gerechnet und ich komme aud verschidene Ergebnisse. Kann mir wer sagen welches davon wichtig ist ?

0.32606..

0.86

0.75

Answer 1

Aloha :)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p=3\%=0,03\) ist eine Birne defekt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter \(n=67\) Birnen mindestens 2 defekt sind, ist dann:$$P(D\ge2)=1-P(D<2)=1-P(D=0)-P(D=1)$$$$\phantom{P(D\ge2)}=1-\underbrace{\binom{67}{0}0,03^0\cdot0,97^{67}}_{\text{keine defekte Birne}}-\underbrace{\binom{67}{1}0,03^1\cdot0,97^{66}}_{\text{genau eine defekte Birne}}$$$$\phantom{P(D\ge2)}=1-0,97^{67}-67\cdot0,03\cdot0,97^{66}$$$$\phantom{P(D\ge2)}=0,60083659\approx60\%$$

Answer 2

P(X ≥ 2) = 1 - F(1) = 0,600836588567447

Comments

Was bedeutet F(1) ?

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Bei der Binomialverteilung sind zwei Funtionen definiert

B(k) = P(X = k)

und

F(k) = P(X ≤ k)

n und p können dabei noch als Parameter im Index von B oder F angegeben werden.

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Danke, das wusste ich nicht. :)

Hat das F eine Bedeutung? Warum dieser Buchstabe, der an Stammfunktionen erinnert?

Willkür?

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Ich selber weiß es nicht genau. Aber es ist eine Verteilungsfunktion und daher ist das F anlehnend an eine Stammfunktion ja durchaus passend.

Bei Wikipeedia steht leider auch nichts

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

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Danke für deine Mühe. Bist ein sehr freundlicher Mensch und Kollege. ;)))