Alle Lösungen für komplexe Gleichung

Question

x³=i

Man soll alle Lösungen der komplexen Gleichung finden und zwar mit Hilfe der trigonometrischen Polardarstellung (φ∈0,2*pi)

Bin wie folgt vorgegangen

x³=i*(cos(0+2*pi*k)+i*sin(0+2*pi*k)

x=\( \sqrt[3]{i} \) *(cos(0+2*pi/3*k)+i*sin(0+2*pi/3*k)

Lösung für k=0,1,2

x0=\( \sqrt[3]{i} \) *(cos(0*2*pi/3)+i*sin(2*pi/3*0)=\( \sqrt[3]{i} \) *1+1*i

Ist dieser Schritt richtig oder muss man anders vorgehen

Comments

Was soll denn \(\sqrt[3]{i}\) sein?

Du musst ausgehen von

$$x^3=\cos(0.5 \pi+2k\pi)+i\sin(0.5\pi+2k\pi)$$

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Aso, da steckt ja bereits die imaginäre Einheit drin. Und wir befinden uns ja im ersten Quadranten, deshalb 0.5*pi.

Answer 1

x^3 = i

x^3 = 1·(COS(1/2·pi + k·2·pi) + i·SIN(1/2·pi + k·2·pi))

x = 1·(COS(1/6·pi + k·2/3·pi) + i·SIN(1/6·pi + k·2/3·pi)) für k = 0, 1, 2

x1 = 1·(COS(1/6·pi + 0·2/3·pi) + i·SIN(1/6·pi + 0·2/3·pi)) = √3/2 + 1/2·i

x2 = 1·(COS(1/6·pi + 1·2/3·pi) + i·SIN(1/6·pi + 1·2/3·pi)) = - √3/2 + 1/2·i

x3 = 1·(COS(1/6·pi + 2·2/3·pi) + i·SIN(1/6·pi + 2·2/3·pi)) = - i