Komplexe Zahlen umformen

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle z=\left(\frac{2+3 \cdot i-2 i^{2}+2 \cdot i^{3}}{3-2 \cdot 1-2 \cdot i^{2}+i^{3}}\right)^{2} \)

Problem/Ansatz:

ich möchte in Normal und Polarform umformen, aber komme nicht drauf, wie ich nun beginne.

Answer 1

Vereinfache Zähler und Nenner. Beachte, dass du i² als -1 und i³ demzufolge als -1*i=-i schreiben kannst.

Wenn du in Zähler und Nenner dann je eine komplexe Zahl stehen hast, die sauber in Real- und Imaginärteil aufgeteilt ist, kannst du den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitern. Der Nenner wird dadurch zu einer reellen Zahl.

Abschließend quadrierst du den Bruch.

PS: Der Mathecoach war der Meinung, dass du das alles nicht verstehst und hat dir deshalb alles Schritt für Schritt vorgerechnet.

Answer 2

Zähler

2 + 3·i - 2·i^2 + 2·i^3 = 2 + 3·i + 2 - 2·i = i + 4

Nenner

3 - 2·i - 2·i^2 + i^3 = 3 - 2·i + 2 - i = 5 - 3·i

Klammer

(i + 4) / (5 - 3·i) = (i + 4)(5 + 3·i) / ((5 + 3·i)(5 - 3·i)) = (17·i + 17) / 34 = 1/2·(i + 1)

Quadrat

(1/2·(i + 1))^2 = 1/4·(i + 1)^2 = 1/4·(i + 1)^2 = 1/2·i