Komplexe Zahlen, Berechnen, Umformen

Question

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Gibt es dazu bestimmte Formeln / Regeln?

\( z_{1,2}=\dfrac{i \pm \sqrt{-1-4 i}}{2} = \dfrac{i \pm \sqrt[4]{17} e^{i \dfrac{\pi+\arctan 4}{2}}}{2} \)

Answer 1

Komplexe Zahlen werden multipliziert indem man die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

Daraus folgt, dass man die Wurzel einer komplexen Zahl zieht indem man die Wurzel des Betrages zieht und das Argument halbiert.

Die komplexe Zahl r·e^iθ hat Betrag r und Argument θ.

Betrag von -1-4i ist √((-1)² + (-4)²) = √17.

Für das Argument θ von -1-4i gilt

        tan θ = (-4)/(-1) = 4.

Eine Lösung dieser Gleichung ist

        θ₀ = arctan 4.

Weil der Tangens die Periode π hat, ist

       θ₁ = π + arctan 4

eine weitere Lösung.

Es muss π < θ < 3/2·π gelten, weil -1-4i im dritten Quadranten liegt. Der Wertebereich von arctan ist aber das offene Intervall (-π/2, π/2), also im ersten oder vierten Quadranten . Also ist

        θ = π + arctan 4

das Argument von -1-4i.

Comments

Vielen Dank für deine mega ausführliche Antwort! ;-)