Ist die Aussage ∀p ∈ R : [∃q ∈ R : [∀r ∈ R : q < p + r]] wahr oder falsch?

Question

Aufgabe:

1)∀p ∈ R : [∃q ∈ R : [∀r ∈ R : q < p + r]] 

Ist die Aussage wahr oder falsch

Problem/Ansatz:

… Ich weiss ,dass die Aussage wahr ist,da man für alle p + r ein q finden kann,so dass die Aussage gilt.Aber ich weiss nicht wie man es Formel beweisen kann.

Answer 1

∀p ∈ R : [∃q ∈ R : [∀r ∈ R : q < p + r]]

Wenn

(1)        ∃q ∈ R : [∀r ∈ R : q < p + r]

für alle p ∈ R gelten soll, dann gilt (1) insbesondere für p=0.

Dann sag mir mal, welches q ∈ R du vorschlägst, so dass

  ∀r ∈ R : q < 0 + r

gilt.

Comments

Z.B für r=2 ist q=-1

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So funktioniert das nicht. Die Aussage

      q < 0 + r

soll für alle r ∈ R gelten. Und wenn du q = 1 vorschlägst, dann gilt sie eben nicht für alle r ∈ R. Zum Beispiel gilt sie für r = 0 nicht..

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d.h die Aussage "übersetzt" man so: "Es gibt ein q ∈ R, so dass für alle r,p ∈ R gilt q < p + r ?"

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Die Aussage übersetzt man von links nach rechts. Zu jedem p aus R gibt es ein q aus R, so dass für alle r aus R gilt, dass q kleiner als p + r ist.

Im Moment sieht es so aus, dass du schon für p=0 Probleme hast, ein q aus R zu finden, so dass für alle r aus R gilt, dass q kleiner als p + r ist. Wie willst du das dann für alle p aus R schaffen?

Und die Probleme sind auch verständlich. Die Aussage ist nämlich falsch.

Answer 2

Für \(p=0\) bedeutet die Aussage, dass ein reelles \(q\) gibt,

das kleiner als jede reelle Zahl \(r\) ist.

Wenn es dies gäbe, müsste insbesondere \(q\)

kleiner als \(r=q\) sein, was unsinnig ist.