Zeige, dass Aff n(R) mit der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe bindet.

Question

Aufgabe:

Thema: Affine Abbildungen
a) Zeige, dass
\( \operatorname{Aff}_{n}(\mathbb{R}):=\left\{f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \mid \exists A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^{n}: f(x)=A \cdot x+b\right\} \)
mit der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe bildet.

b) Zeige, dass \( \mathrm{Aff}_{n}(\mathbb{R}) \) isomorph zu einer Untergruppe von \( \mathrm{GL}_{n+1}(\mathbb{R}) \) ist.

Problem/Ansatz:

Verstehe hier nicht wie man die Aufgabe löst.

Comments

Hallo

schreib die Gruppenaxiome auf und verifiziere sie.

lul

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Da hat lul Recht.
Am besten zeigst du als Erstes, dass die
Hintereinanderausführung zweier Affinitäten
wieder eine Affinität ist.

Answer 1

Den 2. Tipp kannst du z.B. so angehen:

Seien f,g ∈ Aff_n(ℝ),  Dann gibt es \( A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \) und \( B \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \)

und b∈ℝ^n und c∈ℝ^n mit  \( f(x)=A \cdot x+b\) und \( g(x)=B \cdot x+c\) für alle  x∈ℝ^n.

==>  (fog)(x) = A(Bx+c) + b = ABx + Ac + b

Es ist Ac+b ∈ℝ^n und AB ∈ GLn(ℝ), weil das eine Gruppe ist.

Also ist fog eine Affinität.