Kann einer beim Beweisen der Stetigkeit helfen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Für eine Menge \( A \subset \mathbb{R} \) untersuchen Sie die folgende Funktion auf Stetigkeit.
\( d(x, A):\left\{\begin{array}{l} \mathbb{R} \rightarrow[0, \infty) \\ x \mapsto \inf _{y \in A}|x-y| \end{array}\right. \)
(a) Beweisen Sie, dass
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} e^{x}=1 . \)
(Hinweis: \( \epsilon<e^{x}<e^{\frac{1}{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor}} \) für \( x>0 \) )
(b) Beweisen Sie, dass
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{x}=1 . \)
(c) Beweisen Sie die Stetigkeit der Exponentialfunktion \( e^{x} \) auf \( \mathbb{R} \), d.h., \( \forall x_{0} \in \mathbb{R} \) gilt
\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} e^{x}=e^{x_{0}} . \)

Problem:
Ich habe Probleme beim Beweisen und Stetigkeit. Kann mir bei dieser Aufgabe jemand helfen?

Comments

Wie ist die e- Funktion bei euch definiert?

lul

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Text erkannt:

Definition 2.48. \( \forall z \in \mathbb{C} \), definieren wir die Abbildung
\( \exp : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \text { mit } z \mapsto \exp (z):=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !} \)
die (komplexe) Exponentialfunktion. Insbesondere ist \( \exp (0)=1 \). Der Wert \( \exp (1)= \) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \) ist eine reelle Zahl.

Answer 1

Hallo

dann habt ihr doch schon e^0 =1  und für die Stetigkeit benutze die Reihe. für die Stetigkeit bei 0 nimm dz-B die folge xn=1(n, n gegen oo und den Vorschlag,

die Stetigkeit mit der reellen Reihe zeigen

zu 1. sei d(x,y)<ε  dann gilt |d(x,A)-d(y,A)|< d(x,y)<ε