Aloha :)
Wir haben es hier mit einer Fläche zu tun, denn von den 3 Koordinaten \((x;y;z)\) aller Punkte aus \(F\) können nur zwei frei gewählt werden und die dritte ist dann durch die Bestimmungsgleichung$$(Hx)^2+(Hy)^2=R^2z^2\quad\text{bzw.}\quad \frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}=\frac{z^2}{H^2}$$vorgegeben. Wir haben also nur zwei Freiheitsgrade zur Wahl.
Zur Bestimmung der Fläche brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der jeden Punkt aus \(F\) abtastet. Dazu bieten sich hier Zylinderkoordinaten an:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\\frac HRr\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\;;\;r\in[0;R]$$
Eine infinitesimale Änderung dieses Ortsvektor \(\vec r\) erhalten wir mit der Kettenregel:$$d\vec r=\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi+\frac{\partial\vec r}{\partial r}\,dr$$und können daraus einen Normalenvektor \(d\vec f\) des Flächenelementes bestimmen:$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}\,dr\right)=\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\frac HR\end{pmatrix}d\varphi\,dr=\begin{pmatrix}\frac HRr\cos\varphi\\[1ex]\frac HRr\sin\varphi\\[1ex]-r\end{pmatrix}d\varphi\,dr$$Der Betrag dieses Flächenelements ist:$$df=\left\|d\vec f\right\|=\sqrt{\frac{H^2}{R^2}r^2+r^2}\,d\varphi\,dr=\sqrt{1+\frac{H^2}{R^2}}\,r\,d\varphi\,dz$$
Die gesuchte Fläche beträgt daher:$$A=\int\limits_Fdf=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{r=0}^R\sqrt{1+\frac{H^2}{R^2}}\,r\,d\varphi\,dr=\sqrt{1+\frac{H^2}{R^2}}\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^R r\,dr$$$$\phantom A=\sqrt{1+\frac{H^2}{R^2}}\cdot2\pi\cdot\frac{R^2}{2}=\pi R\sqrt{R^2+H^2}$$
