Flächeninhalt der Mehrdimensionalen Funktion

Question

$$f_{1}: \left\{(x,y) \in  \mathbb R |1 \leq x^2+y^2 \leq 4 \right\} → \mathbb R , (x,y) → xy$$

laut geogebra ist das ein Sattel. Mein Intervall ist die Fläche zwischen den beiden Kreisen. (oder sind das eher zwei nach oben geöffnete Parabel?)

Was genau setze ich in das Flächeintegral ein? ich weiß nicht über was ich integriere und was die Grenzen sind.

mfg

Answer 1

das Integral ist in Polarkoordinaten zu lösen. Dann ist dA=rdrdφ

und es ist über den Bereich φ∈[0,2π] , r∈ [1,2]

zu integrieren. Es bleibt also

$$I_f=\int fdA=\int_{0}^{2 π }dφ \int_{1}^{2}(xy)rdr\\ =\int_{0}^{2 π }sin(φ)cos(φ)dφ \int_{1}^{2}r^3dr\\ =\frac{1}{2}\int_{0}^{2 π }sin(2φ)dφ \int_{1}^{2}r^3dr\\$$

Dabei gilt in Polarkoord.

$$x=rcos(φ),y=rsin(φ)$$

Das Integral sollte nun kein Problem mehr darstellen ;)

Comments

so richtig?

das erg. sieht komisch aus :/

mfg

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Was sollst du ausrechnen? Den Flächeninhalt des Gebietes? Dazu ist die Angabe von f nicht vonnöten und das kann man elementar geometrisch rechnen. Oder sollst du das Flächenintwgral der Funktion bestimmen. Das habe ich oben gemacht.

Nennt die Originalaufgabenstellung

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ich glaube ich muss mit "fubini" die fläche berechnen, also oberflächenintegral? ich hoffe hab das richtige angewendet

mfg

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ich glaube ich muss mit "fubini" die fläche berechnen, also oberflächenintegral?

Ich kenne deine Aufgabenstellung nicht. Daher kann ich dir nicht helfen.

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aufgabenstellung ist flächeninhalt der graphen der funktionen berechnen... mehr steht da nicht...

mfg

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Ok,wenn du die Oberfläche des Graphen berechnen sollst, ist dein Ansatz richtig.

Ich erhalte auch dasselbe Ergebnis.

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Habe es so gemacht wie du oben beschrieben hast. Was habe ich falsch gemacht?

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Woher kommt die Formel mit den Partiellen Ableitungen und der Wurzel? :)

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Hallo Mathematiker max,

musst du dieselbe Aufgabe bearbeiten? In meiner Antwort oben habe ich das Integral über die Funktion f(x,y) bestimmt. Also I_f= Integral f(x,y)dxdy über den genannten Bereich.

Gesucht war aber der Flächeninhalt der durch f(x,y) beschrieben Fläche. Dazu musst du das Flächenelement da bestimmen und darüber integrieren. Also

A= Integral dA

Wie man die Formel da =sqrt(1+f_x^2 +f_y^2) herleitet kannst du hier nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Oberflächenintegral#Beispiel_2:_Explizite_Darstellung_2

(dA = dsigma dort)

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Vielen vielen dank für die Antwort! :D Habs Verstanden

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ich habe hier eine alternative, hier kommt aber was anderes raus... ist das vielleicht besser?

mfg