Question

Sei V ein 3-dimensionaler Vektorraum und u, v, w eine Basis von V . Untersuchen Sie, ob die
Systeme {u + v, v + w, u + w}, {u − v, v − w, w − u}, {u, u + v, u + v + w} Basen von V sind.
Hinweis: Es reicht zu zeigen, dass minimale Erzeugendensysteme vorliegen.

Ich liege zur Zeit leider mit Grippe flach, und habe daher leider kein Kopf für Mathe aktuell. Muss dennoch diese Aufgabe lösen.

Könnte mir jemand bitte die formelle Lösung dieser Aufgabe geben?

Gustav

Answer 1

Wenn der Vektorraum 3-dimensional ist, dann sind

je drei lin. unabhängige Vektoren aus V eine Basis.

{u + v, v + w, u + w}

Die drei sind alle in V, da sie sich alle mit u,v,w

erzeugen lassen.

Außerdem sind sie lin. unabhängig; denn

x(u + v)+y*(v + w) +z*(u + w} = 0

<=>  (x+z)*u  + (x+y)*v  + (y+z)*w = 0

 ==>  x+z=0  und   x+y=0     und  y+z=0

 da      u,v,w lin. unabh. sind

==>   x = -z      und   x+y=0     und  y+z=0

==>  x = -z      und   -z+y=0     und  y+z=0

2. + 3. Gleichung gibt  y=0 und mit den

anderen auch x=0 und z=0 .

Also ist {u + v, v + w, u + w}

ein System von 3 lin. unabhängiges Vektoren von V,

also eine Basis.

{u − v, v − w, w − u} alle aus V   (s.o.)

aber der erste ist eine Lin.komb der beiden anderen

u-v =  -1*(v-w) + (-1)*(w - u ) , also sind sie nicht

lin. unabh., also keine Basis von V.

{u, u + v, u + v + w}  alle aus V (s.o.) und

 x*u  +y*(u + v)  + z*(u + v + w) = 0

<=>   (x+y+z)*u +(y+z)*v   +  z*w=0

wegen der lin.Unabh. von u,v,w also

x+y+z=0  und   y+z=0  nd    z=0

also x=y=z=0 .  ==>  {u, u + v, u + v + w}

ist ein System von 3 lin. unabhängiges

Vektoren von V,also eine Basis.