Aloha :)
Ich probiere mal eine hoffentlich anschauliche Erklärung...
Die Punkte der gegebenen Menge \(F\) werden von folgender Funktion abgetastet:$$\vec f(x,y)=\left(\begin{array}{c}x\\y\\xy\end{array}\right)\quad\text{mit}\quad x^2+y^2\le1$$Diese Funktion hängt nur von 2 Variablen ab, beschreibt also eine Fläche im \(\mathbb{R}^3\). Das totale Differential \(d\vec f\) dieser Funktion lautet:$$d\vec f=\frac{\partial\vec f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial\vec f}{\partial y}\,dy$$Bei infinetisimalen Änderungen ändert sich die Funktion \(\vec f\) in x-Richtung also um \(\frac{\partial \vec f}{\partial x}\,dx\) und in y-Richtung um \(\frac{\partial \vec f}{\partial y}\,dy\). Bei der Bestimmung der Oberfläche \(\sigma(F)\) musst du über infinitesimal kleine Flächenelemente \(d\sigma\) integrieren. Diese Flächenelemente werden von den infinitesimalen Vektoren \(\frac{\partial \vec f}{\partial x}\,dx\) und \(\frac{\partial \vec f}{\partial y}\,dy\) aufgespannt. Da der Betrag des Vektorproduktes von 2 Vektoren gleich der von ihnen aufgespannten Fläche ist, kannst du schreiben:$$d\sigma=\left|\frac{\partial \vec f}{\partial x}\,dx\times \frac{\partial \vec f}{\partial y}\,dy\right|=\left|\left(\begin{array}{c}1\\0\\y\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\1\\x\end{array}\right)\right|\,dx\,dy=\left|\left(\begin{array}{c}-y\\-x\\1\end{array}\right)\right|\,dx\,dy=\sqrt{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$$Daher ist:$$\sigma(F)=\int\limits_Bd\sigma=\int\limits_{\{x^2+y^2\le1\}}\sqrt{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$$Die Berechnung erfolgt nun am einfachsten, wie du ja auch schreibst, mit Hilfe von Polarkoordinaten...
