Aufgabe:
Sei \( f: M \rightarrow N \) eine Abbildung zwischen zwei nichtleeren Mengen. Zeigen Sie: Es gibt eine Menge \( Y \), eine surjektive Abbildung \( a: M \rightarrow Y \) und eine injektive Abbildung \( b: Y \rightarrow N \) mit \( f=b \circ a \).
Meine Lösung:
Da a surjektiv ist, muss es mindestens ein Element mehr in M geben als in Y, sodass alle Elemente in Y mindestens einmal getroffen werden. Da b injektiv sein soll, besitzt es mindestens ein Element in N höchstens ein Urbild.
Im besten Fall ist b so injektiv für alle Elemente in Y, für die das Urbild eindeutig ist bzw. a(m1) = a(m2) -> m1 = m2. f kann nie surjektiv sein, da b injektiv sein soll und so nicht alle Elemente in Y ein Bild in N besitzen.
Somit kann f höchstens injektiv sein.
Problem:
Ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob das so richtig ist und ob ich überhaupt die Fragestellung richtig beantwortet habe.
Danke für jede Hilfe!
