Logarithmus auf eine Ungleichung der Exponentialfunktion anwenden

Question

Aufgabe

Wir wissen, dass für alle $h \in[0,1]$ :
$1+h \leq \exp (h) \leq 1+2 h .$

Ich muss den Logarithmus auf die obige Ungleichung anwenden und daraus schliessen, dass für alle $k, n \in \mathbb{N}$ mit $1 \leq k \leq n-1$ :
$\frac{1}{2(n-k)} \leq \log \left(\frac{n-k+1}{n-k}\right) \leq \frac{1}{n-k} .$

Problem/Ansatz:

Könnte jemand mir gerne helfen? Danke

Answer 1

Den ersten Teil vielleicht so:

Seien $k, n \in \mathbb{N}$ mit $1 \leq k \leq n-1$ .

==>    $1 \leq k \leq n-1$

==>    $2 \leq k+1 \leq n$

==>    $2-k \leq 1 \leq n-k$ 

Insbesondere also    $1 \leq n-k$ und dann gilt für den Kehrwert

$0 \leq \frac{1}{n-k} \leq 1$ und ist damit geeignet als das h in

der gegebenen Ungleichung:

$1+ \frac{1}{n-k} \leq \exp ( \frac{1}{n-k}) \leq 1+ \frac{2}{n-k}$

$\frac{n-k+1}{n-k} \leq \exp ( \frac{1}{n-k}) \leq \frac{n-k+2}{n-k}$

Alles ist positiv und ln streng monoton steigend, also

$ln(\frac{n-k+1}{n-k} )\leq \frac{1}{n-k} \leq ln(\frac{n-k+2}{n-k} )$

Damit hast du zumindest schon mal den 2. Teil der

zu beweisenden Ungleichung.

Comments

danke

und wie kann ich aus dieser Aufgabe herleiten, am einfachsten, dass

für alle $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 1$ her:
$\frac{1}{2} \sum \limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \leq \log (n) \leq \sum \limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$  ist. Danke

Answer 2

Aus der Ungleichung für $\exp(h)$ folgt wegen der Monotonie von $\ln$:

$\ln(1+h)\leq h$ und $h \leq \ln(1+2h)$.

In die erste Ungleichung setze man $h=\frac{1}{n-k}$ ein:

$\ln(\frac{n-k+1}{n-k})\leq \frac{1}{n-k}$.

In die zweite Ungleichung setze man $h=\frac{1}{2(n-k)}$ ein:

$\frac{1}{2(n-k)}\leq \ln(\frac{n-k+1}{n-k})$.