Wahrheitsgehalt bestimmen und Beweisen

Question

Aufgabe:

Wahrheitsgehalt der Aussage bestimmen und Beweisen:

∀q ∈ ℕ, ∃p ∈ ℕ: q > p ⇒ q² > p²

Ansatz:

q = (q+p) ⇒ q² = (q+p)

Aussage ist somit war.

Problem:

Wie gehe ich bei der Aufgabe vor, wenn mein Ansatz nicht richtig sein sollte?

Comments

haha, einfach gleicher Mathekurs

Answer 1

∀q ∈ ℕ, ∃p ∈ ℕ: q > p ⇒ q² > p²

Das ist wieder so eine Aussage der Form

Für alle q gibt es ein p .......

Also musst du beim Beweis davon ausgehen, du habest irgendein q

und musst dann das zugehörige p angeben.

Also kannst du annehmen, du hast ein q und suchst

ein p so dass die Folgerung q > p ⇒ q² > p²  .

Wenn q =0 ist, gibt es ja kein kleineres p, also ist

q > p immer falsch und damit die Folgerung wahr.

Es gibt also so ein p, z.B. p=0.

Bei größerem q, gibt es natürlich ein p, für das

q>p wahr ist (z.B. p=q-1 ) und für p=q-1 gilt

jedenfalls q^2 > p^2 .

Comments

Vielen Dank!

Wenn ∀q ∈ ℕ, ∃p ∈ ℕ: q > p ⇒ q² < p² sein würde, dann müsste die Aussage ja falsch sein, oder?

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Sehe ich auch so. Hast du ein Gegenbeispiel ?

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∃q ∈ ℕ, ∀p ∈ ℕ: q < p ⇒ q² < p²

Wäre dann wieder >wahr< als Gegenbeispiel ? :)

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Sehe ich auch so

Dann siehst du wohl p = q+1  nicht

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∀q ∈ ℕ, ∃p ∈ ℕ: q < p ⇒ q² < p²

Muss ich dann ∀ und ∃ vertauschen oder wie ?