Bestimmen Sie Jg \circ f(x) .

Question

Aufgabe:

1. Es seien $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, f(x)=A x$ mit $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und $g: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{k}$, $g(x)=B x$ mit $B \in \mathbb{R}^{k \times m}$. Bestimmen Sie $J_{g \circ f}(x)$.
2. Es sei
$P(x)=\sum \limits_{\nu=0}^{d} a_{\nu} x^{\nu},$
ein Polynom mit $a_{0}, \ldots, a_{d} \in \mathbb{R}$. Für eine $d$-mal differenzierbare Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow$ $\mathbb{R}$ sei dann
$P_{D}(f(x)):=\sum \limits_{\nu=0}^{d} a_{\nu} f^{(\nu)}(x) .$
( $f^{(\nu)}$ die $\nu$-te Ableitung). Zeigen Sie, dass für $\alpha \in \mathbb{R}$ mit $P(\alpha)=0$ gilt
$P_{D}\left(c^{\alpha x}\right)=0, x \subset \mathbb{R} .$