Die 30 lieben Heranwachsenden der Klasse 10a stöhnen, dass ihre Physikbucher so schwer
sind. Der gutherzige Physiklehrer hat ein Einsehen, und er ordnet an, dass immer jeder
zweite sein Buch mitbringen soll, damit jeder in ein Buch schauen kann. Er meint, dann
mussten ja im Mittel immer 15 Bücher vor Ort sein, und selten weniger als acht. Es klappt
natürlich überhaupt nicht, es sind nie mehr als zehn Bücher da.
(a) Der Lehrer hatte an eine Bernoulli-Kette gedacht. Beschreibe den Bernoulliversuch präzise, definiere die natürliche Zufallsgröße X und schreibe Terme für P(X=15) und P( X ≤ 7) hin.
(b) Berechne den Wert von P(X = 15) und schätze P(X ≤ 7) ab, indem du die Tschebyschew–Ungleichung geschickt anwendest.
(c) Was könnte der Lehrer anordnen, damit das Einpacken der Bücher zu Hause durch die Schüler tatsächlich als Bernoullikette abläuft?
(d) Schreibe die Formel für P(X = k) fur eine B(n, p)–verteilte Zufallsgröße hin und erkläre, wie sie zustande kommt.
nächste Aufgabe:
4. Aus unserer Urne mit fünf roten, drei weißen und zwei grünen Kugeln werden drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
(a) Es sei X die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und zeichne ein Histogramm.
(b) Bilden wir ein bequemes Ω zu dem Versuch, und zwar nehmen wir die Menge aller zulässigen Wörter abc mit a, b, c ∈ {r, w, g}. Nun ist unser X eine Abbildung X : Ω → R. In gleicher Weise könnten wir als Y :
”
Anzahl der gezogen gelben Kugeln eine zweite Zufallsgröße auf demselben Ω bilden, und anschließend deren Summe X + Y : Ω → R. Das ist dann wieder eine Zufallsgröße auf Ω. Sage, im Beispiel und allgemein, was (X +Y )(ω) für ω ∈ Ω bedeutet, und beweise allgemein, dass E(X +Y ) = E(X)+E(Y ) ist.
