Zeigen Sie: Ist (G, ·) eine endliche Gruppe und |G| gerade, so existiert ein

Question

Aufgabe: Fur ¨ m ∈ N und a ∈ G sei

a^m = e fur ¨ m = 0 und
a^m = a · a · · · a | {z }
m−fach definiert.

Zeigen Sie: Ist (G, ·) eine endliche Gruppe und |G| gerade, so existiert ein

a ∈ G, a ̸= e mit (/= = ungleich)
a^2 = e. Hierbei bezeichnet |G| die Anzahl von Elementen in G.
Hinweis: Zerlegen Sie G bezuglich der  definierten ¨ Aquivalenzrelation!

Problem/Ansatz:

Also die Idee habe ich dahinter, dass man zeigen muss dass die Elemente von G multipliziert gerade sind (Denke ich)

Mir fehlt gerade nur ein bisschen das wissen der Mathematischen Schreibweise

Vielleicht kann mir da ja jemand helfen

Comments

definierten ¨ Aquivalenzrelation!

Was ist damit gemeint?

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Ich vermute nach der Definition einer Äquivalenzrelation

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Ja, aber welche Äquivalenzrelation ist denn gemeint?
Die muss doch in der Aufgabe angegeben sein.

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g, h ∈ G sei die Relation g ∼ h ⇔ (g = h) ∨ (g = h^−1)

Hoppla die habe ich nicht mitkopiert

Answer 1

Die Äquivalenzklasse eines \(g\in G\) ist \(\{g,g^{-1}\}\),

besteht also aus zwei Elementen, wenn \(g\neq g^{-1}\) ist,

oder nur einem Element falls \(g=g^{-1}\), d.h. \(g^2=e\) ist.

\(G\) ist die disjunkte Vereinigung dieser Äquivalenzklassen.

Da \(|G|\)  gerade ist und die Klasse von \(e\) einelementig ist,

muss es noch mindestens eine weitere einelementige Klasse

geben, d.h. ein \(g\neq e\) mit \(g^2=e\), q.e.d.