Äquivalenz von Aussagen zu Ringen

Question

Aufgabe:

Sei \( R \) ein beliebiger Ring mit Verknüpfungen + und * und neutralen Elementen 0 und 1. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) Es gibt ein \( a \in R \) mit \( a \cdot 0=1 \).
(b) Es gilt \( 1=0 \).
(c) Es gilt \( R=\{0\} \).

Hinweis: Will man die Äquivalenz von mehr als zwei Aussagen beweisen, bietet es sich häufig an, dies über einen Ringschluss zu tun: Zeigen Sie die Implikationen \( (a) \Rightarrow(b) \), \( (b) \Rightarrow(c) \) und \( (c) \Rightarrow(a) \). Warum folgt dann, dass \( (a) \Leftrightarrow(b),(a) \Leftrightarrow(c) \) und \( (b) \Leftrightarrow c \) gelten?

Problem/Ansatz:

wie zeige ich, dass die Äquivalent sind? Komme leider nicht voran. Danke an alle. Habe nur Fragezeichen im Kopf. Kann jemand helfen?

Answer 1

(a)==>(b)

(a) Es gibt ein \( a \in R \) mit \( a \cdot 0=1 \)

Es gilt   \(  a \cdot 0=   a \cdot (0+0) \)

==>  \(  a \cdot 0=  = a \cdot 0 + a \cdot 0   \)    | - a · 0

==>  \(   0 = a \cdot 0  \) 

wegen \( a \cdot 0=1 \) also 0=1.

(b)==>(c)

(b) Sei a∈R. ==>     a*1=a .

Wegen 1=0 also auch a*0=a .

Aber wie oben gezeigt gilt immer a*0=0,

Also a=0 für alle a∈R. ==>   \( R=\{0\} \).

(c)==>(a)     \( R=\{0\} \).

 ==>   ∀ a∈R  a=0 , also auch 1=0.

Denn 0 ist auch 1-Element, weil für alle a∈R a*0=a gilt.

Comments

Vielen Dank!!!!