Wie findet man 2 Linearkombinationen zu 3 Vektoren und dessen Vektor Ergebnis?

Question

Aufgabe:

2 Linearkombinationen der 3 Vektoren u = [3  -1]   v = [1  2]   w = [-3  8] finden, die b = [-8  5] ergeben.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich mich sehr schwer tue schnell ein Muster zu erkennen und klar zu sehen mit welchen Zahlen ich u, v oder w multiplizieren muss.

Ich frage mich ob es einen leichteren Weg gibt zu sehen, welche Zahl man zum Multiplizieren benutzen muss?

Ich weiß jetzt durch Hilfe, dass das Ergebnis bspweise: -3u + 1v + 0w = b sein kann.

Aber klar erkannt hätte ich so etwas vielleicht erst in 15 Minuten. Leider ist das in einer Prüfung nicht sehr vorteilhaft...

Vielleicht gibt es Wege oder Möglichkeiten das anhand der gegebenen Vektoren selbst schnell zu erkennen?

Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße

Answer 1

\(\displaystyle r \begin{pmatrix} 3\\-1\end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -3\\8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -8\\5\end{pmatrix}\)

Setze r = 1 und löse das Gleichungssystem.

Setze r = 2 und löse das Gleichungssystem.

Comments

D.h.

r = 1, s = -5, t = 2

r = 2, s = -13/2, t = 5/2

Falls Du nicht die verlangten "Linearkombinationen der 3 Vektoren" suchen willst sondern nur Linearkombinationen von 2 der 3 Vektoren, es stehen anderswo auf dieser Seite auch zu einem solchen Vorhaben mögliche Lösungen.

Answer 2

Mein Problem ist, dass ich mich sehr schwer tue schnell ein Muster zu erkennen und klar zu sehen mit welchen Zahlen ich u, v oder w multiplizieren muss.

Das braucht man nicht sehen, das kann man ja berechnen.

a * [3  -1] + b * [1  2] = [-8  5]

ergibt das Gleichungssystem

3a + b = -8
-a + 2b = 5

Löse dieses Gleichungssystem. Ich erhalte: a = - 3 ∧ b = 1

Löse Ebenso

a·[3, -1] + b·[-3, 8] = [-8, 5] --> a = - 7/3 ∧ b = 1/3

Damit hast du jetzt bereits zwei Linearkombinationen