Aufgabe:
Sei \( (G, \cdot) \) eine Gruppe und sei \( H \subset G \) eine Untergruppe von \( G \). Sei die Relation \( \sim \) definiert durch \( x_{1} \sim x_{2} \Leftrightarrow \exists h \in H \), so dass \( h \cdot x_{1}=x_{2} \).
a) Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation ist. Im folgenden wird die Menge der Äquivalenzklassen in \( G \) unter \( \sim \) als \( G / H \) bezeichnet.
b) Betrachten Sie die Gruppe der rationalen Zahlen mit der Addition als Gruppenverknüpfung \( (\mathbb{Q},+) \) und der Untergruppe \( \mathbb{Z} \). Bestimmen Sie die Quotientenmenge \( \mathbb{Q} / \mathbb{Z} \).
c) Sei nun \( M:=\mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \) und \( \sim \) die durch \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \sim\left(y_{1}, y_{2}\right) \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}^{+} \)mit \( x_{i}=\lambda \cdot y_{i} \) für \( i=1,2 \) definierte Relation auf \( M \), wobei \( \mathbb{R}^{+}=\{u \in \mathbb{R}: u>0\} \). Zeigen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation ist. Zeigen Sie überdies, dass es für jede Äquivalenzklasse \( A \) genau ein \( \theta \in[0,2 \pi) \) gibt mit \( (\cos \theta, \sin \theta) \in A \).
Problem/Ansatz:
Hallo ihr Lieben,
ich bin total am verzweifeln, weil ich diese Aufgabe einfach nicht blicke. Hat jemand einen Ansatz für mich, wie man das lösen könnte? Mir ist bewusste, dass man für Aufgabe a) zeigen muss, dass es reflexiv, symmetrisch u. transitiv ist. Bei den anderen Teilaufgaben habe ich leider keinen Plan. Bin für jede Hilfe dankbar!
