Question

Bestimmen Sie alle zu x orthogonalen Einheitsvektoren.

\( \begin{pmatrix} 5\\-2\\-3 \end{pmatrix} \) ist der Vektor zu dem ich den jeweiligen orthogonalen Einheitsvektor bilden soll. Grundsätzlich weiß ich eigentlich wie man hier vorgeht.

Ich habe also die Folgende Gleichung aufgestellt:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 5\\-2\\-3 \end{pmatrix} \) = 0 

Daraus habe ich dann 5x-2y-3z=0 Gebildet und einmal nach jeden Buchstaben umgeformt und kam dann auf

x=\( \frac{2}{5} \)y + \( \frac{3}{5} \) z

y=\( \frac{5}{2} \)x - \( \frac{3}{2} \)z

z= \( \frac{5}{3} \)x -\( \frac{2}{3} \)y

So nun zum Einheitsvektor. Da habe ich dann dieses System gleich 1 und den Betrag gebildet. Allerdings schaffe ich nicht dieses Auszurechnen da die Zahlen einfach alle so Krumm sind und das Ergebnis so unendlich lang. Ich wollte einmal Fragen ob ich irgendwo vielleicht eine Umformung vergessen habe die mir das Leben erleichtern würde. Nach Möglichkeit bitte alles ohne Taschenrechner (steht so in der Aufgabe).

Viele Grüße

Answer 1

Besser nur x=\( \frac{2}{5} \)y + \( \frac{3}{5} \) z benutzen, dann hast du

für alle orthogonalen \(   \vec{v}=\begin{pmatrix}  \frac{2}{5} y + \frac{3}{5}  z \\y\\z \end{pmatrix} \)

Und dann |v| = 1 betrachten

\(  \sqrt{(  \frac{2}{5} y + \frac{3}{5}  z) ^2 + y^2 + z^2 } = 1  \)

<=>  29y^2 +12yz +34z^2 = 25

==>   \( y= \frac{5\sqrt{29-38z^2}-6z}{29}     \) oder  \( y=   \frac{-5\sqrt{29-38z^2}-6z}{29}    \)