Zeige, dass die Laplacetransformierte im fall unten beschrieben gegeben ist

Question

Aufgabe:

Die eingefuhrte Laplacetransformierte  ψX(λ) := int[0,∞)e^−λt PX(dt) = E(e^−λX) ∀ λ ≥ 0 kann auch f ür allgemei- ¨
ne reelle Zufallsvariablen definiert werden als
ψX(λ) := E(e^−λX)
(Schlimmstenfalls gilt ψX(λ) = ∞). Zeige, dass die Laplacetransformierte im
Fall X= N(0, 1) gegeben ist durch ψX(λ) = e^{( λ^2)/2} , λ ∈ R.

Problem/Ansatz:

$$E(e^{\lambda X}) = int_-\infty^\infty e^{\lambda t} f(t) dt$$

Comments

SSchreibe mal das zu berechnende Integral komplett hierhin. Verwendecfür die Argumente der exp Funktion quadratische Ergänzung.....

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Das verstehe ich leide nicht wie man das macht. Ich hatte jetzt nur den Ansatz als Idee aber weiß gerade nicht wie man damit arbeitet

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Du kannst doch mal das Integral hierhin schreiben, damit wir ein Arbeitsgrundlage haben...