Aufstellung allgemeine Formel + Tangentengleichung

Question

Aufgabe: Hallo in die Runde!

Erstmals vielen Dank für eure Zeit und die Beantwortung meiner Frage!

Gegeben ist das folgende Beispiel mit Lösungen aber leider ohne Lösungsweg, weshalb ich leider nicht jeden Schritt in der Lösungsfindung verstehe. Deshalb würde ich mich über einen konkreten Lösungsweg freuen!

Aufgabenstellung:

Geben Sie für folgende Funktionen die Geradengleichung der Tangente an
einem Punkt (p;f(p)) an. Stellen Sie sowohl eine allgemeine Formel (für beliebiges p) als auch
eine konkrete Tangentengleichung (für einen konkreten Wert p Ihrer Wahl) auf:

a.)f(x)= 3x² −6x+5. Gewählt wurde hier der Punkt x=2 (welcher im Koordinatensystem (2,5) entspricht (Lösung: allgemeine Gleichung: y= 3p² +(6p−6)(x−p)−6p+5. Tangentengleichung: y=6(x−2)+5)

Problem/Ansatz:

ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir erklären könntet, wie ich zu dieser "allgemeinen Formel komme" und wie der Lösungsweg für die Tangentengleichung ist

Vielen Dank und einen Gruß
StylesOfDark

Answer 1

f(x) = 3x^2 - 6x + 5
f'(x) = 6x - 6

Tangente an der Stelle x = 2

t(x) = f'(2) * (x - 2) + f(2)
t(x) = 6 * (x - 2) + 5
t(x) = 6x - 7

Tangente an der Stelle x = p

t(x) = f'(p) * (x - p) + f(p)
t(x) = (6p - 6) * (x - 2) + (3p^2 - 6p + 5)

Answer 2

Willkommen in der Mathelounge!

Verwende für die Tangentengleichung die Punkt-Steigungsform: \(t(x)=m\cdot (x-x_0)+y_0\)

m = Steigung = 1. Ableitung

\(f(x)=3x^2-6x+5\\f'(x)=6x-6\\f'(p)=6p-6\\ y=(6p-6)\cdot (x-p)+f(p)\)

\(f(p)=3p^2-6p+5\\\)

Und damit lautet die allgemeine Gleichung

\(y=(6p-6)\cdot (x-p)+3p^2-6p+5\)

Die konkrete Tangentengleichung lautet entsprechend der Punkt-Steigungsform \(y=6(x-2)+5\).

Melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn zwei Punkte \((x_0|y_0)\) und \((x_1|y_1)\) bekannt sind, gilt für die Gerade durch diese Punkte:$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\implies y=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\cdot(x-x_0)$$Die allgemeine Formel für eine Tangente an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet:$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Erkennst du die Ähnlichkeit? Es ist \(y_0=f(x_0)\) und die Steigung \(\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\) wird durch die erste Ableitung \(f'(x_0)\) an der Stelle \(x_0\) ersetzt.

In deinem Beispiel ist$$f(x)=3x^2-6x+5\quad\text{und}\quad x_0=p$$Das in die allgemeine Tangentengleichung eingesetzt liefert:$$t_p(x)=f(p)+f'(p)\cdot(x-p)=\underbrace{(3p^2-6p+5)}_{=f(p)}+\underbrace{(6p-6)}_{=f'(p)}\cdot(x-p)$$

Darin kannst du nun \(p=2\) und \(f(p)=5\) eintragen:$$t_2(x)=(12-12+5)+(12-6)\cdot(x-2)=5+6(x-2)$$